เศษส่วนและทศนิยม

สารบัญ

• ความหมายของเศษส่วน
• ประเภทของเศษส่วน
  • เศษส่วนสามัญ (Common Fraction)
  • จำนวนคละ (Mixed Number)
  • เศษส่วนซ้อน (Complex Fraction)
  • ส่วนกลับของเศษส่วน
  • เศษส่วนที่เทียบเท่ากัน
  • เศษส่วนอย่างต่ำ
• เศษส่วนที่เป็นลบ
• การเปรียบเทียบเศษส่วน
• การบวกลบเศษส่วน
• การคูณเศษส่วน
• การหารเศษส่วน
• ความหมายของทศนิยม
• การเปรียบเทียบทศนิยม
• การบวกลบทศนิยม
• การคูณหารทศนิยม
• ประเภทของทศนิยม
  • ทศนิยมรู้จบ
  • ทศนิยมไม่รู้จบ
• ความสัมพันธ์ของเศษส่วนและทศนิยม

ความหมายของเศษส่วน

ในบทเรียนเรื่องจำนวนเต็ม เราทราบว่า จำนวนเต็มมีสมบัติปิดการบวก (รวมไปถึงการลบ เพราะถือเป็นการบวกด้วยจำนวนเต็มลบด้วย) และมีสมบัติปิดการคูณ แต่สำหรับการหารจำนวนเต็ม ผลหารมีได้ทั้งที่เป็นจำนวนเต็ม (การหารนั้นลงตัว) หาค่าไม่ได้ (การหารด้วยศูนย์) และ จำนวนที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม (การหารที่ไม่ลงตัว) ซึ่งจำนวนประเภทนี้ สามารถอธิบายในรูปเศษส่วนและทศนิยมได้

เศษส่วน (Fraction) หมายถึง รูปแบบการเขียนจำนวนไม่เต็มหน่วยจากการหาร ซึ่งเรียกตัวตั้งหารว่า ตัวเศษ (Numerator) และเรียกตัวหารว่า ตัวส่วน (Denominator)

กำหนดให้ $A,B$ เป็นจำนวนใด ๆ โดยที่ $B$ ไม่เป็นศูนย์

เศษส่วนจะอยู่ในรูป

ซึ่งมีค่าเท่ากับ $A\div B$

ประเภทของเศษส่วน

เพื่อสร้างความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับเศษส่วน ในหัวข้อ ประเภทของเศษส่วน นี้ จะอธิบายโดยใช้ จำนวนนับ เป็นขอบเขตการอธิบายเท่านั้น สามารถใช้ความเข้าใจส่วนนี้เพื่อต่อยอดความเข้าใจเกี่ยวกับเศษส่วนที่เป็นลบได้หลังจากหัวข้อนี้

เศษส่วนสามัญ (Common Fraction)

กำหนดให้ $A,B$ เป็นจำนวนนับ เศษส่วนสามัญอยู่ในรูป

เศษส่วนสามัญ ยังแบ่งได้เป็นสองประเภท ได้แก่

เศษส่วนแท้ (Proper Fraction) หมายถึง เศษส่วนสามัญ โดยที่ $A\ge B$

เศษส่วนเกิน (Improper Fraction) หมายถึง เศษส่วนสามัญ โดยที่ $A\ge B$

บางตำราไม่นับรวมกรณีที่ตัวเศษเท่ากับตัวส่วน เพราะผลหารก็คือ $1$

จำนวนคละ (Mixed Number)

กำหนดให้ $A,B,C$ เป็นจำนวนนับ โดยมี $\dfrac{A}{B}$ เป็นเศษส่วนแท้

จำนวนคละอยู่ในรูป

ซึ่งมีค่าเท่ากับ $C+\dfrac{A}{B}$

อีกนัยหนึ่ง จำนวนคละก็คือเศษส่วนเกินที่เขียนอยู่ในรูปของผลบวกจำนวนเต็มกับเศษส่วนแท้

ขั้นตอนการแปลงเศษส่วนเกินเป็นจำนวนคละ

1. หารตัวเศษด้วยตัวส่วน
2. หาผลลัพธ์จำนวนเต็ม และเศษเหลือ
3. ผลลัพธ์จำนวนเต็มที่ได้คือส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม และเศษเหลือที่ได้คือตัวเศษ และตัวหารคือตัวส่วน

ขั้นตอนการแปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกิน

1. คูณจำนวนเต็มของจำนวนคละด้วยตัวส่วน
2. ตัวเศษของเศษส่วนเกิน ได้จากผลรวมผลลัพธ์จากข้อ 1. และตัวเศษจากจำนวนคละ ตัวส่วนของผลลัพธ์ใช้ตัวส่วนเดิม

เศษส่วนซ้อน (Complex Fraction)

เป็นเศษส่วนที่มีตัวเศษ หรือตัวส่วนมีส่วนประกอบของนิพจน์เป็นเศษส่วนอีกที เช่น

ส่วนกลับของเศษส่วน

กำหนดให้ $\dfrac{A}{B}$ เป็นเศษส่วน

ส่วนกลับ (Inverse) ของเศษส่วน $\dfrac{A}{B}$ แทนด้วย $\left(\dfrac{A}{B}\right)^{-1}$ หรือ $\dfrac{B}{A}$

กรณีเป็นจำนวนนับ เมื่ออยู่ในรูปเศษส่วน ตัวส่วนมีค่าเป็น $1$ เช่น $A=\dfrac{A}{1}$ ส่วนกลับของจำนวนนับ จะได้เป็น $\dfrac{1}{A}$

เศษส่วนที่เทียบเท่ากัน

กำหนดให้ $\dfrac{A}{B}$ และ $\dfrac{C}{D}$ เป็นเศษส่วน

$\dfrac{A}{B}$ เป็นเศษส่วนที่เทียบเท่ากับ $\dfrac{C}{D}$ ถ้ามีจำนวนนับ $N$

ที่ทำให้ $\dfrac{A\times N}{B\times N}=\dfrac{C}{D}$ หรือ $\dfrac{A\div N}{B\div N}=\dfrac{C}{D}$

เศษส่วนอย่างต่ำ

กำหนดให้ $\dfrac{A}{B}$ เป็นเศษส่วนสามัญ

$\dfrac{A}{B}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ถ้า ห.ร.ม. ของ $A,B$ เป็น $1$

เศษส่วนที่เป็นลบ

กำหนดให้ $\dfrac{A}{B}$ เป็นเศษส่วน

จะได้ $-\dfrac{A}{B}$ เป็นจำนวนตรงข้ามของ $\dfrac{A}{B}$ ซึ่ง

ด้วยรูปแบบนี้ หากมีตัวเศษ หรือตัวส่วนเป็นจำนวนลบ เราสามารถแปลงรูปให้เครื่องหมายลบตามสถานการณ์ โดยถือให้เศษส่วนนั้น ยังมีคุณสมบัติตามหัวข้อที่แล้วได้

การเปรียบเทียบเศษส่วน

กำหนดให้ $A,B,C,D$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $B,D$ ไม่เป็นศูนย์

กรณีตัวส่วนเท่ากัน

นำตัวเศษมาเปรียบเทียบกัน ตัวเศษที่มากกว่า จะทำให้เศษส่วนนั้นมีค่ามากกว่า ถ้า $A>C$ แล้ว $\dfrac{A}{B}>\dfrac{C}{B}$

กรณีตัวส่วนไม่เท่ากัน

คูณทั้งเศษและส่วนแต่ละจำนวน ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนอีกจำนวน เพื่อทำให้ตัวส่วนเท่ากัน แล้วใช้วิธีแรกในการเปรียบเทียบ

ถ้า $A\times D>C\times B$ แล้ว $\dfrac{A}{B}>\dfrac{C}{D}$

การบวกลบเศษส่วน

กำหนดให้ $A,B,C,D$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $B,D$ ไม่เป็นศูนย์

กรณีตัวส่วนเท่ากัน

นำตัวเศษมาบวก (ลบ) กันได้เลย ตัวส่วนยังคงเดิม

กรณีตัวส่วนไม่เท่ากัน

คูณทั้งเศษและส่วนแต่ละจำนวน ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนอีกจำนวน เพื่อทำให้ตัวส่วนเท่ากัน แล้วใช้วิธีแรกในการบวก (ลบ)

การคูณเศษส่วน

กำหนดให้ $A,B,C,D$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $B,D$ ไม่เป็นศูนย์

สามารถนำตัวเศษคูณกัน และตัวส่วนคูณกันได้เลย

กรณีคูณเศษส่วนกับจำนวนเต็ม เนื่องจาก จำนวนเต็ม $C$ มีค่าเท่ากับ $\dfrac{C}{1}$ จะได้ว่า

การหารเศษส่วน

กำหนดให้ $A,B,C,D$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $B,C,D$ ไม่เป็นศูนย์

การหารด้วยเศษส่วน มีค่าเท่ากันกับการคูณด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

ความหมายของทศนิยม

ทศนิยม (Decimal) หมายถึง รูปแบบการเขียนจำนวนไม่เต็มหน่วยอีกประเภทหนึ่ง ประกอบด้วยส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม และส่วนที่เป็นทศนิยม ซึ่งคั่นด้วยจุดที่เรียกว่า จุดทศนิยม (Decimal point)

กำหนดให้ $A$ เป็นจำนวนเต็ม และ $d$ เป็นเลขโดด $0-9$

ทศนิยมจะอยู่ในรูป

โดยเลขห้อยแต่ละตัวแสดงถึงตำแหน่งของทศนิยม และยังมีค่าเท่ากับ

จะเห็นว่า รูปแบบการเขียนทศนิยม จะคล้ายกับการเขียนจำนวนคละในเศษส่วน ซึ่งส่วนไม่เต็มหน่วยของทศนิยม เปรียบเสมือนเศษส่วนแท้ในจำนวนคละ

การเปรียบเทียบทศนิยม

เราสามารถเปรียบเทียบเศษส่วนได้ตามขั้นตอนดังนี้

1. เปรียบเทียบเฉพาะส่วนจำนวนเต็ม จำนวนเต็มที่มากกว่าจะทำให้ทศนิยมมีค่ามากกว่า
2. หากส่วนจำนวนเต็มเท่ากัน ให้เปรียบเทียบจากทศนิยมทีละตำแหน่งจากซ้ายไปขวา (เริ่มจากทศนิยมตำแหน่งแรก หรือตำแหน่งที่อยู่ใกล้จุดทศนิยมที่สุด) เลขโดดที่มากกว่าจะทำให้ทศนิยมมีค่ามากกว่า
3. กรณีที่จำนวนตำแหน่งทศนิยมมีน้อยกว่าอีกจำนวน ให้ถือว่าตำแหน่งต่อไปคือเลขโดด $0$ เช่น $12.34 = 12.340$

การบวกลบทศนิยม

ใช้หลักการเดียวกันกับการบวกลบจำนวนเต็ม เพียงแต่ต้องตั้งจุดทศนิยมให้ตรงกัน ตำแหน่งทศนิยมที่ขาดไปให้ถือเป็น $0$

การคูณหารทศนิยม

ใช้หลักการเดียวกันกับการคูณหารจำนวนเต็ม เพียงแต่ในการคูณ หาผลรวมจำนวนตำแหน่งทศนิยม (สมมติเป็น $n$) ทำการถอดจุดทศนิยมออกไป แล้วทำการคูณเหมือนกับการคูณจำนวนเต็ม ส่วนผลลัพธ์ที่ได้ ให้ใส่จุดทศนิยมในตำแหน่งที่ทำให้ผลลัพธ์เป็นทศนิยม $n$ ตำแหน่ง และในการหาร ทำการเลื่อนจุดทศนิยมทั้งสองจำนวนไปพร้อมกันจนกว่าทั้งสองจำนวนจะเป็นจำนวนเต็ม

ประเภทของทศนิยม

ทศนิยมรู้จบ

ทศนิยมรู้จบ (Terminating Decimal) คือ ทศนิยมที่มีตำแหน่งทศนิยมเป็นจำนวนจำกัด หรือสามารถบอกได้แน่ชัดว่ามีทศนิยมกี่ตำแหน่ง (ไม่รวมเลขโดดศูนย์ต่อท้ายทศนิยมที่สามารถมีได้เป็นจำนวนอนันต์) เช่น $0.27$

ทศนิยมไม่รู้จบ

ทศนิยมไม่รู้จบ (Non-Terminating Decimal) คือ ทศนิยมที่มีตำแหน่งทศนิยมเป็นจำนวนอนันต์ หรือไม่สามารถบอกได้ว่ามีทศนิยมกี่ตำแหน่ง เช่น $0.333..., \pi$

ทศนิยมไม่รู้จบสามารถแบ่งได้เป็นสองประเภทย่อย ได้แก่

• ทศนิยมซ้ำ (ไม่รู้จบ) (Recurring Decimal) คือ ทศนิยมไม่รู้จบที่มีรูปแบบซ้ำกันไปเรื่อย ๆ เช่น $0.333...$ ($3$ ซ้ำไม่สิ้นสุด) หรือ $0.567567567...$ ($567$ ซ้ำไม่สิ้นสุด)

  เราสามารถเขียนจุด หรือขีดบนเลขโดดทศนิยมที่ซ้ำ เพื่อบอกรูปแบบซ้ำได้ เช่น $0.\dot{3} = 0.\overline{3} = 0.333...$ กรณีซ้ำเป็นชุดตัวเลข หากใช้ระบบจุด เขียนจุดที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดรูปแบบ หากใช้ระบบขีด ขีดเส้นลากยาวครอบรูปแบบ เช่น $0.\dot{5}6\dot{7} = 0.\overline{567} = 0.567567567...$

• ทศนิยมไม่ซ้ำไม่รู้จบ (Non-Recurring, Non-Terminating Decimal) คือ ทศนิยมไม่รู้จบที่ไม่มีรูปแบบซ้ำ หรือคาดเดารูปแบบได้แต่ไม่ได้ซ้ำกันเลย เช่น $\pi$, $e$

  $0.123456789101112...$ เป็นทศนิยมไม่ซ้ำไม่รู้จบ (คาดเดารูปแบบได้ แต่ไม่ได้ซ้ำ)

ความสัมพันธ์ของเศษส่วนและทศนิยม

จากหัวข้อที่ผ่าน ๆ มา ทำให้ทราบว่าทศนิยมคือการเขียนเศษส่วนในอีกรูปแบบหนึ่ง กล่าวคือ เศษส่วนทุกจำนวนสามารถแปลงให้เป็นทศนิยมได้ โดยสามารถทำได้ผ่านการหารตัวเศษด้วยตัวส่วนนั่นเอง แต่ในทางกลับกัน มีเพียงทศนิยมบางจำนวนเท่านั้นที่สามารถแปลงให้เป็นเศษส่วนได้

เศษส่วนทุกจำนวนสามารถแปลงเป็นทศนิยมได้

ทศนิยมรู้จบทุกจำนวนสามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้

ทศนิยมรู้จบสามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้ โดยการหาค่าประจำหลักจากจำนวนตำแหน่งทศนิยมเพื่อนำมาเป็นตัวเศษ แล้วนำค่าทศนิยมเป็นตัวเศษ สำหรับส่วนจำนวนเต็มสามารถนำเข้ามาเป็นจำนวนคละได้เลย

เช่น

ทศนิยมซ้ำทุกจำนวนสามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้

ทศนิยมซ้ำสามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้ โดยการหาเศษส่วนจากระบบสมการ

ตัวอย่าง $0.\dot{5}$

ให้

นำ $(2) -(1)$ จะได้

ดังนั้น $0.\dot{5}=\dfrac{5}{9}$

ตัวอย่าง $4.3\overline{521}$

ให้ $y=4+x$

โดยให้

นำ $(8) -(7)$ จะได้

ดังนั้น $4.3\overline{521}=4\dfrac{3518}{9990}$

ทศนิยมไม่ซ้ำทุกจำนวนไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้

ทศนิยมไม่ซ้ำไม่สามารถใช้หลักการจากหัวข้อก่อนหน้าได้ ทำให้ไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้ ซึ่งความแตกต่างกันนี้ ทำให้ทศนิยมไม่ซ้ำ ถูกเรียกว่า จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) ซึ่งหมายถึงจำนวนที่ไม่สามารถทำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ซึ่งจะได้รู้จักในบทเรียนเรื่องจำนวนจริง (Real Number)