สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สารบัญ

• สมการและคำตอบของสมการ
• การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
  • สมบัติสมมาตร (Symmetric Property)
  • สมบัติถ่ายทอด (Transitive Property)
  • สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก (Additive Property of Equality)
  • สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับคูณ (Multiplication Property of Equality)
• รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการและคำตอบของสมการ

สมการ (Equation) คือ ประโยคที่แสดงถึงการเท่ากันของจำนวน หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ ($=$) เพื่อแสดงความเท่ากัน สมการมีได้ทั้งสมการที่เป็นจริงและเท็จ สมการที่เป็นจริง หมายถึงสมการที่จำนวนทางซ้าย เท่ากับ จำนวนทางขวา และในทางตรงกันข้าม สมการที่เป็นเท็จ หมายถึงสมการที่จำนวนทางซ้าย ไม่เท่ากับ จำนวนทางขวา

ตัวอย่างสมการที่เป็นจริง

$5=3+2$

$x+5=9$ เมื่อ $x=4$

$2x-4=1$ เมื่อ $x=2.5$

$x$ เรียกว่าตัวแปร (Variable) เราสามารถนำจำนวนหรือค่าคงที่มาแทนที่ตัวแปร เพื่อหาค่าในสมมการได้ โดยทั่วไปจะใช้อักษรต่าง ๆ ที่ไม่ใช่ตัวเลขเพื่อแทนตัวแปร

สัญลักษณ์ $2x$ มีค่าเท่ากับ $2\times x$ หรือ $2\cdot x$ เป็นการเขียนเพื่อนิพจน์ที่มีตัวแปรให้ดูกระชับขึ้น

ตัวอย่างสมการที่เป็นเท็จ

$5\times9=50$

$y-17=1$ เมื่อ $y=19$

สมการที่ไม่มีตัวแปรใด ๆ เราสามารถบอกได้แน่ชัดว่าสมการเป็นจริงหรือเท็จ แต่สมการที่มีตัวแปรจะเป็นจริงหรือเท็จ ขึ้นอยู่กับจำนวนที่นำมาแทนตัวแปร

จำนวนที่นำมาแทนตัวแปรและทำให้สมการเป็นจริง เราจะเรียกคำตอบเหล่านั้นว่า คำตอบ หรือผลเฉลยของสมการ (Solution of The Equation)

สมการมีทั้งที่มีผลเฉลยและไม่มีผลเฉลย

ตัวอย่างสมการที่มีผลเฉลย

$z-5=3$ ผลเฉลยคือ $z=8$

$a^2=4$ ผลเฉลยคือ $a=2$ และ $a=-2$

$b\times 0=0$ ผลเฉลยคือ จำนวนทุกจำนวน

ตัวอย่างสมการที่ไม่มีผลเฉลย

$c+3=c$

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ในกรณีที่สมการมีความง่ายไม่ซับซ้อน เราอาจจะใช้การลองแทนค่าตัวแปรด้วยจำนวนต่าง ๆ เพื่อหาผลเฉลย แต่วิธีนี้จะใช้ได้ไม่ดีนักกับสมการที่ซับซ้อนขึ้น หรืออาจจะได้ผลเฉลยไม่ครบ เนื่องจากเป็นการเดาสุ่ม เพื่อให้เกิดความแม่นยำและรวดเร็ว เราสามารถใช้ สมบัติการเท่ากัน (Properties of Equality) มาช่วยเพื่อหาผลเฉลยได้

สมมติให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนใด ๆ

สมบัติสมมาตร (Symmetric Property)

ถ้า $a=b$ แล้ว $b=a$

สมบัติถ่ายทอด (Transitive Property)

ถ้า $a=b$ และ $b=c$ แล้ว $a=c$

สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก (Additive Property of Equality)

ถ้า $a=b$ แล้ว $a+c=b+c$

การลบก็รวมอยู่ในสมบัตินี้ด้วย เพราะมีค่าเท่ากับการบวกด้วยจำนวนตรงข้าม

สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับคูณ (Multiplication Property of Equality)

ถ้า $a=b$ แล้ว $ac=bc$

การหารก็รวมอยู่ในสมบัตินี้ด้วย เพราะมีค่าเท่ากับการคูณด้วยส่วนกลับของจำนวน

ตัวอย่างการแก้สมการด้วยการใช้สมบัติ

จงแก้สมการ $4x+10=12$

รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

กำหนดให้ $a,b$ เป็นค่าคงที่ และ $x$ เป็นตัวแปร

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว (Linear Equation in One Variable) อยู่ในรูป

ด้วยปัญหาที่มีอยู่จริง เราสามารถเพิ่มข้อกำหนด $a\ne0$ ได้

หากเป็น $0$ จะได้ว่าสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวนี้หาค่าไม่ได้ หรือไม่มีผลเฉลย