การสร้างทางเรขาคณิต

สารบัญ

• องค์ประกอบทางเรขาคณิตเบื้องต้น
  • จุด
  • เส้นตรง
  • ส่วนของเส้นตรง
  • รังสี
  • มุม
• การสร้างพื้นฐาน
  • การสร้างส่วนของเส้นตรงที่เท่ากัน
  • การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง
  • การสร้างมุมที่เท่ากัน
  • การแบ่งครึ่งมุม
• การสร้างเกี่ยวกับเส้นตั้งฉาก
  • การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรง
  • การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดบนเส้นตรง
• การสร้างมุมขนาดต่าง ๆ
  • การสร้างมุมขนาด $90^\circ$
  • การสร้างมุมขนาด $45^\circ$
  • การสร้างมุมขนาด $60^\circ$
• การสร้างรูปเรขาคณิต
  • การสร้างรูปสามเหลี่ยม
  • การสร้างรูปสี่เหลี่ยม
  • การสร้างอื่น ๆ เกี่ยวกับสามเหลี่ยม

องค์ประกอบทางเรขาคณิตเบื้องต้น

จุด

จุด (Point) ใช้อธิบายตำแหน่งเฉพาะบนระนาบหรือในปริภูมิ (Space) ไม่มีขนาด ไม่มีความกว้างหรือความยาว เป็นเพียงตำแหน่งที่ใช้กำหนดสถานที่ของวัตถุเรขาคณิตต่าง ๆ และใช้เป็นจุดอ้างอิงในการสร้างเส้นหรือรูปอื่น ๆ มักแทนจุดด้วยตัวอักษร เช่น จุด $A$ ดังรูป

เส้นตรง

เส้นตรง (Line) คือเส้นที่ประกอบด้วยจุดจำนวนอนันต์เรียงต่อกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุดทั้งสองทิศทาง เส้นตรงไม่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ไม่มีความหนา และมีเพียงมิติเดียวคือความยาว ซึ่งเป็นอนันต์ หากให้ $A,B$ เป็นจุดที่ต่างกันบนเส้นตรง สามารถแทนด้วยสัญลักษณ์ $\overleftrightarrow{AB}$

มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่สามารถลากผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้

เส้นตรงสองเส้นที่ต่างกันและไม่ขนานกันตัดกันที่จุดเพียงจุดเดียว

ส่วนของเส้นตรง

ส่วนของเส้นตรง (Segment) คือส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดปลายสองจุด มีความยาวจำกัด หากให้ $A,B$ เป็นจุดที่ต่างกันบนเส้นตรง สามารถแทนด้วยสัญลักษณ์ $\overline{AB}$

รังสี

รังสี (Ray) คือส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดปลายหนึ่งจุด มีความยาวเป็นอนันต์ หากให้ $A$ เป็นจุดปลายนั้น และ $B$ เป็นจุดหนึ่งบนเส้นตรง สามารถแทนด้วยสัญลักษณ์ $\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}$ ต่างกันกับ $\overrightarrow{BA}$ แต่ $\overrightarrow{AB}$ เหมือนกันกับ $\overleftarrow{BA}$

มุม

มุม (Angle) เกิดจากรังสีสองเส้นที่มีจุดปลายเดียวกัน จุดปลายนั้นเรียกว่า จุดยอดมุม (Vertex) และรังสีทั้งสองเส้นเรียกว่า แขนหรือด้านของมุม (Side) ขนาดมุมวัดจากการหมุนจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง มีหน่วยสองประเภท ได้แก่ แบบองศา (Degree) และแบบเรเดียน (Radian) หากให้ $A$ เป็นจุดยอดมุม และ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ เป็นแขนของมุม สามารถแทนด้วยสัญลักษณ์ $\angle BAC$ หรือ $B\hat AC$

มุมแหลม (Acute)
$0^\circ < \hat A < 90^\circ$

มุมฉาก (Right)
$90^\circ$

มุมป้าน (Obtuse)
$90^\circ < \hat A < 180^\circ$

มุมตรง (Straight)
$180^\circ$

มุมกลับ (Reflex)
$180^\circ < \hat A < 360^\circ$

การสร้างพื้นฐาน

อุปกรณ์: ไม้บรรทัด (ไม่มีมาตรวัด) หรือสันตรง และวงเวียน

การสร้างส่วนของเส้นตรงที่เท่ากัน

1. กำหนดส่วนของเส้นตรง $\overline{AB}$ ดังรูป

2. สร้างส่วนของเส้นตรง $\overline{CD}$ ให้ยาวกว่า $\overline{AB}$

3. กางวงเวียนให้รัศมีวงเวียนยาวเท่ากับ $\overline{AB}$

4. ใช้ $C$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน ใช้รัศมีจากข้อ 3. สร้างเส้นโค้งตัด $\overline{CD}$ ที่จุดตัด $E$ จะได้ส่วนของเส้นตรง $\overline{AE}$ ที่ยาวเท่ากันกับ $\overline{AB}$

การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง

1. กำหนดส่วนของเส้นตรง $\overline{AB}$ ดังรูป

2. กางวงเวียนให้รัศมีวงเวียนยาวกว่าครึ่งหนึ่งของ $\overline{AB}$ ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณ ดังรูป

3. ใช้รัศมีวงเวียนเดียวกันกับข้อ 2. ใช้ $B$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณ ดังรูป

4. จากข้อ 3. จะได้จุดตัดเส้นโค้ง $C$ และ $D$ สร้างส่วนของเส้นตรงผ่านจุด $C$ และ $D$ จะได้จุดตัด $E$ บน $\overline{AB}$
   จุด $E$ นี้คือจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง $\overline{AB}$

การสร้างมุมที่เท่ากัน

1. กำหนดมุม $B\hat AC$ ดังรูป

2. สร้างรังสี $\overrightarrow{XY}$

3. กางวงเวียนให้รัศมียาวพอเหมาะสม ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัด $\overrightarrow{AB}$ ที่จุด $M$ และ $\overrightarrow{AC}$ ที่จุด $N$

4. ใช้รัศมีวงเวียนเดียวกันกับข้อ 3. ใช้ $X$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณ ให้ตัดกับ $\overrightarrow{XY}$ ที่จุด $P$

5. กางวงเวียนให้รัศมีวงเวียนยาวเท่ากับ $\overline{MN}$ ใช้ $M$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน

6. ใช้รัศมีวงเวียนเดียวกันกับข้อ 5. ใช้ $P$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณ ให้ตัดกับเส้นโค้งในข้อ 4. ที่จุด $Q$

7. จากจุด $X$ ลากรังสี $\overrightarrow{XZ}$ ให้ผ่านจุด $Q$ มุม $Y\hat XZ$ ที่ได้จะมีขนาดเท่ากันกับ $B\hat AC$

การแบ่งครึ่งมุม

1. กำหนดมุม $B\hat AC$ ดังรูป

2. กางวงเวียนให้รัศมียาวพอเหมาะสม ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัด $\overrightarrow{AB}$ ที่จุด $M$ และ $\overrightarrow{AC}$ ที่จุด $N$

3. กางวงเวียนให้รัศมียาวพอเหมาะสม ใช้ $M$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณ ดังรูป

4. ใช้รัศมีวงเวียนเดียวกันกับข้อ 3. ใช้ $N$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณ ให้ตัดกับเส้นโค้งในข้อ 3. ที่จุด $O$

5. จากจุด $A$ ลากรังสี $\overrightarrow{AD}$ ให้ผ่านจุด $O$ มุม $B\hat AD$ ที่ได้จะมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของ $B\hat AC$

การสร้างเกี่ยวกับเส้นตั้งฉาก

กำหนดให้ $\overline{AB}$ เป็นเส้นตรง และ $O$ เป็นจุด ๆ หนึ่งบน $\overline{AB}$

เส้นตั้งฉาก (Perpendicular) ของเส้นตรง $\overline{AB}$ หมายถึงเส้นตรงที่ลากตัด $\overline{AB}$ ที่จุด $O$ แล้วทำให้มุมระหว่าง $\overline{AB}$ กับเส้นตรงนั้นเป็นมุมฉาก

การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรง

1. กำหนดเส้นตรง $\overleftrightarrow{AB}$ และจุด $P$ ดังรูป

2. กางวงเวียนให้รัศมียาวพอเหมาะสม ใช้ $P$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณ ให้ตัดกับ $\overleftrightarrow{AB}$ ที่จุด $M$ และ $N$ ดังรูป

3. กางวงเวียนให้รัศมียาวพอเหมาะสม ใช้ $M$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณ ดังรูป

4. ใช้รัศมีวงเวียนเดียวกันกับข้อ 3. ใช้ $N$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัดเส้นโค้งในข้อ 3.

5. ลากเส้นจากจุด $P$ ไปยังจุดตัดเส้นโค้งในข้อ 4. เส้นตรงที่ได้ คือเส้นตั้งฉากจากจุด $P$ ไปยัง $\overleftrightarrow{AB}$

การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดบนเส้นตรง

1. กำหนดเส้นตรง $\overleftrightarrow{AB}$

2. กำหนดจุด $P$ บนเส้นตรง $\overleftrightarrow{AB}$

3. กางวงเวียนให้รัศมียาวพอเหมาะสม ใช้ P เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัด $\overleftrightarrow{AB}$ ที่จุด $Q$ และ $R$

4. กางวงเวียนให้รัศมียาวกว่าที่ใช้ในข้อ 3. ใช้ $Q$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณ

5. ใช้รัศมีวงเวียนเดียวกันกับข้อ 4. ใช้ $R$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัดเส้นโค้งในข้อ 4. ที่จุด $S$

6. สร้างส่วนของเส้นตรง $\overline{SP}$ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตั้งฉากของ $\overleftrightarrow{AB}$ ที่จุด $P$

การสร้างมุมขนาดต่าง ๆ

การสร้างมุมขนาด $90^\circ$

เราอาศัยการแบ่งครึ่งมุมตรง ($180^\circ$) เพื่อสร้างมุมขนาด $90^\circ$ ซึ่งเป็นวิธีการเดียวกันกับการสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายใน

การสร้างมุมขนาด $45^\circ$

ทำนองเดียวกันกับการสร้างมุม $90^\circ$ เพียงแค่ทำซ้ำการแบ่งครึ่งมุมฉาก

การสร้างมุมขนาด $60^\circ$

เราอาศัยสมบัติของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ว่า มุมภายในทุกมุมมีขนาดเท่ากัน นั่นคือ $60^\circ$ และด้านเท่ากันทุกด้าน ซึ่งทำได้ ดังนี้

1. กำหนดเส้นตรง $\overleftrightarrow{AB}$ และจุด $P$ บนเส้นตรง $\overleftrightarrow{AB}$

2. กางวงเวียนให้รัศมียาวพอเหมาะสม ใช้ $P$ เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัด $\overleftrightarrow{AB}$ ที่จุด $Q$ และ/หรือ $R$

3. ใช้รัศมีวงเวียนเดียวกันกับข้อ 2. ใช้ $R$ (หรือ $Q$) เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัดเส้นโค้งในข้อ 2. ที่จุด $S$

4. สร้างรังสีให้ $P$ เป็นจุดยอด และลากผ่านจุดตัดเส้นโค้งในข้อ 3. จะได้มุม $S\hat{P}R$ ที่มีขนาด 60 องศา

การสร้างรูปเรขาคณิต

การสร้างรูปสามเหลี่ยม

กรณีให้ความยาวด้านมาทั้งสามด้าน

ความยาวที่กำหนดให้จะสร้างสามเหลี่ยมได้หรือไม่นั้น สามารถตรวจสอบได้จาก อสมการสามเหลี่ยม (Triangle inequality) ที่กล่าวว่า ผลรวมความยาวด้านสองด้านใด ๆ ย่อมมากกว่าความยาวด้านที่เหลือเสมอ

1. กำหนดความยาวด้านทั้งสาม

2. เลือกด้านหนึ่งมาเป็นฐาน (ในที่นี้เลือกด้านยาว 8 หน่วย) กางวงเวียนให้รัศมีวงเวียนยาวเท่ากับด้านที่เหลือด้านหนึ่ง (ในที่นี้เลือกด้านยาว 4 หน่วย) ใช้ปลายด้านหนึ่งของฐานเป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณ

3. กางวงเวียนให้รัศมีวงเวียนยาวเท่ากับด้านที่เหลือ (ในที่นี้คือด้านยาว 6 หน่วย) ใช้ปลายอีกด้านหนึ่งของฐานเป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัดเส้นโค้งในข้อ 2.

4. ลากส่วนของเส้นตรงจากปลายฐานแต่ละด้านไปยังจุดตัดเส้นโค้งในข้อ 3. จะได้รูปสามเหลี่ยมที่ต้องการ

กรณีให้ความยาวด้านมาด้านหนึ่ง และมุมประชิดสองมุม

1. กำหนดความยาวด้าน และมุมประชิด

2. สร้างจุดตัดเส้นโค้งเพื่อสร้างมุมแต่ละมุมที่กำหนด

3. ลากเส้นตรงผ่านปลายฐานแต่ละด้านผ่านจุดตัดเส้นโค้งที่สร้างขึ้นในข้อ 2. จุดตัดเส้นตรงที่ได้ จะเป็นจุดยอดที่เหลือของสามเหลี่ยมที่ต้องการ

กรณีให้มุมหนึ่งมุม และความยาวด้านประชิดทั้งสองด้านของมุมนั้น

1. กำหนดมุม และด้านประชิดมุม

2. เลือกด้านหนึ่งมาเป็นฐาน (ในที่นี้เลือกด้านยาว 6 หน่วย)

3. สร้างมุมที่ปลายฐานด้านหนึ่งที่ขนาดเท่ากับมุมที่กำหนดให้

4. กางวงเวียนให้รัศมีวงเวียนยาวเท่ากับด้านที่เหลือ ใช้ปลายฐานที่สร้างมุมเป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัดรังสีที่สร้างจากข้อ 2.

5. สร้างส่วนของเส้นตรงจากปลายฐานที่เหลือไปยังจุดตัดเส้นโค้งในข้อ 4. จะได้รูปสามเหลี่ยมที่ต้องการ

การสร้างรูปสี่เหลี่ยม

ในที่นี้จะยกตัวอย่างการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส

1. กำหนดความยาวด้านสี่เหลี่ยมจัตุรัส

2. สร้างมุมฉากที่ปลายฐานด้านหนึ่ง

3. กางวงเวียนให้รัศมีวงเวียนยาวเท่ากับด้านที่กำหนด ใช้ปลายฐานที่สร้างมุมเป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัดรังสีที่สร้างจากข้อ 2.

4. ใช้รัศมีวงเวียนเดียวกันกับข้อ 3. ใช้ปลายอีกด้านหนึ่งของฐาน และจุดตัดเส้นโค้งในข้อ 3. เป็นจุดศูนย์กลางวงเวียน แล้วสร้างเส้นโค้งพอประมาณให้ตัดกัน

5. สร้างส่วนของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางวงเวียนเหล่านั้นในข้อ 4. ไปยังจุดตัดเส้นโค้งในข้อ 4. จะได้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ต้องการ

วิธีนี้สามารถใช้ได้กับสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ด้วย หากกำหนดความยาวด้าน และมุมมาให้

การสร้างอื่น ๆ เกี่ยวกับสามเหลี่ยม

เมื่อลากเส้นมัธยฐาน (เส้นที่ลากผ่านจุดยอดไปมุมไปยังจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมนั้น) ทั้งสามเส้น เส้นมัธยฐานเหล่านั้น จะไปตัดกันที่จุด ๆ หนึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต หรือจุดเซนทรอยด์ (Centroid)

เมื่อลากเส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามเส้น เส้นแบ่งครึ่งมุมเหล่านั้นจะไปตัดกันที่จุด ๆ หนึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน (Incenter)

เมื่อลากเส้นตั้งฉากจากจุดยอดไปยังด้านตรงข้ามมุมนั้นทั้งสามเส้น เส้นตั้งฉากเหล่านั้น จะไปตัดกันที่จุด ๆ หนึ่งเรียกว่าจุดออร์โทเซนเตอร์ (Orthocenter)

เมื่อลากเส้นที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับด้านแต่ละด้าน เส้นเหล่านั้น จะไปตัดกันที่จุด ๆ หนึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางวงล้อม (Circumcenter)