ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

สารบัญ

ประพจน์
ประพจน์ประกอบและตัวเชื่อมประพจน์
การสมมูลกันของประพจน์
- สมบัติของการสมมูล
- กฏการสมมูลที่ควรทราบ
สัจนิรันดร์
การอ้างเหตุผล
ตัวบ่งปริมาณ

ประพจน์

ประพจน์ (Proposition (Statement)) หมายถึงประโยค (Sentence) ที่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริง (True, $T$ ) หรือเท็จ (False, $F$ ) อย่างใดอย่างหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น

วันนี้ฝนตก
กางเกงตัวนี้สีแดง
แมวเป็นสัตว์ปีก
$5 + 3 = 8$
$7 - 1 = -6$

สำหรับประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ เช่น

กินข้าวหรือยัง
วันนี้ฝนไม่ตกใช่หรือไม่
อย่าเดินลัดสนาม
$x + 5 = 2$
$6\times 7$

ประพจน์ที่ได้ยกตัวอย่างไปก่อนหน้านี้นั้นเป็นประพจน์ย่อย

ประพจน์ย่อย (Atomic proposition) คือ ประพจน์ที่ไม่ประกอบด้วยตัวเชื่อมประพจน์ใด ๆ

ประพจน์ที่มีค่าความจริงที่เป็น จริง แทนด้วย $T$

ประพจน์ที่มีค่าความจริงที่เป็น เท็จ แทนด้วย $F$

ประพจน์ประกอบและตัวเชื่อมประพจน์

ประพจน์ประกอบ (Compound proposition) หมายถึงประพจน์ที่เกิดจากการประสมด้วยตัวเชื่อมประพจน์ (Connective) ซึ่งในพื้นฐานมีอยู่ 5 ตัว ได้แก่

นิเสธ (Negation) [NOT]

เป็นตัวเชื่อมประพจน์เดี่ยวที่ทำให้ค่าความจริงเป็นตรงข้าม

กำหนดให้ $p$ เป็นประพจน์

ประพจน์นิเสธของ $p$ แทนด้วย $\sim p$ หรือ $\neg p$

ตารางต่อไปนี้ เรียกว่า ตารางค่าความจริง (Truth table) ใช้สำหรับแสดงค่าความจริงของประพจน์

$p$	$\neg p$
$T$	$F$
$F$	$T$

ตัวร่วม (และ) (Conjunction) [AND]

เป็นตัวเชื่อมสองประพจน์ ที่จะให้ค่าความจริงเป็นจริง เมื่อทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริง

กำหนดให้ $p$ และ $q$ เป็นประพจน์

ประพจน์ร่วมของ $p$ และ $q$ แทนด้วย $p \land q$

$p$	$q$	$p \land q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$

ตัวเลือก (หรือ) (Disjunction) [OR]

เป็นตัวเชื่อมสองประพจน์ ที่จะให้ค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริง

กำหนดให้ $p$ และ $q$ เป็นประพจน์

ประพจน์เลือกของ $p$ และ $q$ แทนด้วย $p \lor q$

$p$	$q$	$p \lor q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$

ตัวตาม (ถ้า-แล้ว) (Implication) [IF-THEN]

เป็นตัวเชื่อมสองประพจน์ ที่เราจะเรียกประพจน์นำว่า เหตุ (Antecedent) และเรียกประพจน์ตามว่า ผล (Consequent) โดยจะให้ค่าความจริงเป็นจริง เมื่อเหตุเป็นเท็จ หรือผลเป็นจริง

ประพจน์ตามของ $p$ และ $q$ แทนด้วย $p \rightarrow q$

$p$	$q$	$p \rightarrow q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$

ตัวสมมูล (ก็ต่อเมื่อ) (Biconditional) [IFF]

เป็นตัวเชื่อมสองประพจน์ ที่จะให้ค่าความจริงเป็นจริง เมื่อทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเดียวกัน

ประพจน์สมมูลของ $p$ และ $q$ แทนด้วย $p \leftrightarrow q$

$p$	$q$	$p \leftrightarrow q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$

ตารางค่าความจริงของตัวเชื่อมประพจน์ต่าง ๆ

$p$	$q$	$\neg p$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \rightarrow q$	$p \leftrightarrow q$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$

การสมมูลกันของประพจน์

กำหนดให้ $p,q$ เป็นประพจน์

ประพจน์ $p$ สมมูล (Equivalence) กับประพจน์ $q$ ก็ต่อเมื่อทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี แทนด้วย $p \equiv q$

สมบัติของการสมมูล

กำหนดให้ $p,q,r$ เป็นประพจน์

สมบัติการสะท้อน

$p \equiv p$

สมบัติการสมมาตร

ถ้า $p \equiv q$ แล้ว $q \equiv p$

สมบัติการถ่ายทอด

ถ้า $p \equiv q$ และ $q \equiv r$ แล้ว $p \equiv r$

ถ้า $q$ เป็นประพจน์ที่สมมูลกับ $p$ แล้วจะเรียก $\neg q$ ว่าเป็นประพจน์นิเสธของ $p$

กฏการสมมูลที่ควรทราบ

ชื่อกฎ	ประพจน์
Identity Law	$p \land T \equiv p$ $p \lor F \equiv p$
Domination Law	$p \land F \equiv F$ $p \lor T \equiv T$
Negations Law	$p \land \neg p \equiv F$ $p \lor \neg p \equiv T$
Double Negation Law	$\neg (\neg p) \equiv p$
Idempotent Law	$p \land p \equiv p$ $p \lor p \equiv p$
Commutative Law	$p \land q \equiv q \land p$ $p \lor q \equiv q \lor p$
Associative Law	$(p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r)$ $(p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r)$
Distributive Law	$(p \land q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (q \lor r)$ $(p \lor q) \land r \equiv (p \land r) \lor (q \land r)$
De Morgan's Law	$\neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$ $\neg (p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$
Absorption Law	$p \land (p \lor q) \equiv p$ $p \lor (p \land q) \equiv p$
Implication Law	$p \rightarrow q \equiv \neg p \lor q$
Negation of Implication	$\neg (p \rightarrow q) \equiv p \land \neg q$
Contrapositive Law	$p \rightarrow q \equiv \neg q \rightarrow \neg p$
Distributive of Implication	$(p \rightarrow q) \land (p \rightarrow r) \equiv p \rightarrow (q \land r)$ $(p \rightarrow q) \lor (p \rightarrow r) \equiv p \rightarrow (q \lor r)$ $(p \rightarrow r) \land (q \rightarrow r) \equiv (p \lor q) \rightarrow r$ $(p \rightarrow r) \lor (q \rightarrow r) \equiv (p \land q) \rightarrow r$
Biconditional	$p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p)$ $p \leftrightarrow q \equiv \neg p \leftrightarrow \neg q$ $p \leftrightarrow q \equiv (p \land r) \lor (\neg p \land \neg q)$
Negation of Biconditional	$\neg (p \leftrightarrow q) \equiv \neg p \leftrightarrow q \equiv p \leftrightarrow \neg q$

สำหรับประพจน์ที่ซับซ้อนขึ้น เราสามารถแปลงรูปประพจน์ให้เป็นประพจน์ที่สมมูลกันได้ จนกว่าจะได้รูปที่สมมูลที่รู้จัก หรือสามารถใช้ตารางค่าความจริงเพื่อหาการสมมูลกันได้เช่นกัน

สัจนิรันดร์

สัจนิรันดร์ (Tautology) หมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงที่เป็นจริงทุกกรณี

การตรวจสอบสัจนิรันดร์ มีเทคนิคการตรวจสอบ ดังนี้

สร้างตารางค่าความจริง : โดยตรวจสอบว่าประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
ใช้การสมมูล : บางประพจน์สมมูลกับ $T$ $T$ สามารถจัดรูปประพจน์ให้สอดคล้องกับกฎการสมมูลหรือรูปแบบที่ทราบว่าเป็นสัจนิรันดร์แน่แล้ว เช่น
- $p \lor T$
- $p \lor \neg p$
- $p \rightarrow T$
- $F \rightarrow q$
ใช้การหาข้อขัดแย้ง : บางประพจน์สมมูลกับ $F$ หากเราสามารถหาข้อขัดแย้งว่าประพจน์นี้ไม่สมมูลกับ $F$ เลยแม้แต่กรณีเดียว แล้วประพจน์จะถือเป็นสัจนิรันดร์ หรือในทางกลับกัน หากเราพบว่าประพจน์ไม่เกิดข้อขัดแย้ง แม้เพียงหนึ่งกรณี แล้วประพจน์นั้นจะไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า $p \lor \neg p$ เป็นสัจนิรันดร์

ใช้ตารางค่าความจริง

$p$	$\neg p$	$p \lor \neg p$
$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$

จากตาราง จะพบว่า $p \lor \neg p$ เป็นจริงทุกกรณี
ดังนั้น $p \lor \neg p$ เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า $(p \lor \neg p) \rightarrow q$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

เราทราบดีว่า $p \lor \neg p$ เป็นสัจนิรันดร์
ทำให้สามารถย่อรูปได้เป็น $T \rightarrow q$

ใช้ตารางค่าความจริง

$q$	$T \rightarrow q$
$T$	$T$
$F$	$F$

จากตาราง มีบางกรณีทำให้ $T \rightarrow q$ เมื่อเหตุเป็นเท็จ
ดังนั้น $(p \lor \neg p) \rightarrow q$ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า $(p \rightarrow q) \lor \neg q$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

ใช้ตารางค่าความจริง

$p$	$q$	$p \rightarrow q$	$\neg q$	$(p \rightarrow q) \lor \neg p$
$T$	$T$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$

จากตาราง จะพบว่า $(p \rightarrow q) \lor \neg q$ เป็นจริงทุกกรณี

ใช้การสมมูล

\begin{align*} (p \rightarrow q) \lor \neg q &\equiv (\neg p \lor q) \lor \neg q \\ &\equiv \neg p \lor (q \lor \neg q) \\ &\equiv \neg p \lor T \\ &\equiv T \end{align*}

จะเห็นว่า $(p \rightarrow q) \lor \neg q$ สมมูลกับประพจน์สัจนิรันดร์ ( $T$ )

ใช้การหาข้อขัดแย้ง

สมมติให้ประพจน์ $(p \rightarrow q) \lor \neg q$ เป็นเท็จ

เราทราบว่า $(p \rightarrow q) \lor \neg p$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ $p \rightarrow q$ เป็นเท็จ และ $\neg q$ เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว

จากประพจน์หน้า เราทราบว่า $p \rightarrow q$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ $p$ เป็นจริง และ $q$ เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว
ทำให้ได้ $p \equiv T$ และ $q \equiv F$

จากประพจน์หลัง เราทราบว่า $\neg q$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ $q$ เป็นจริงเพียงกรณีเดียว
ทำให้ได้ $q \equiv T$

จะเห็นว่า $q$ เกิดความขัดแย้งในกรณีนี้ และเป็นกรณีเดียวที่ทำให้เกิดค่าเท็จได้
สรุปได้ว่า $(p \rightarrow q) \lor \neg p$ เป็นสัจนิรันดร์

ดังนั้น $(p \rightarrow q) \lor \neg p$ เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

ใช้ตารางค่าความจริง

$p$	$q$	$r$	$p \rightarrow q$	$\neg q$	$r \rightarrow \neg q$	$(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$

จากตาราง จะพบว่า $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ เป็นเท็จทุกกรณี

ใช้การสมมูล

\begin{align*} (p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r &\equiv (\neg p \lor q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r \\ &\equiv [(\neg p \lor q) \land p] \land (r \rightarrow \neg q) \land r \\ &\equiv [(\neg p \land p) \lor (q \land p)] \land (r \rightarrow \neg q) \land r \\ &\equiv [F \lor (q \land p)] \land (r \rightarrow \neg q) \land r \\ &\equiv q \land p \land (r \rightarrow \neg q) \land r \\ &\equiv q \land p \land (\neg r \lor \neg q) \land r \\ &\equiv q \land p \land [(\neg r \lor \neg q) \land r] \\ &\equiv q \land p \land [(\neg r \land r) \lor (\neg q \land r)] \\ &\equiv q \land p \land [F \lor (\neg q \land r)] \\ &\equiv q \land p \land \neg q \land r \\ &\equiv q \land \neg q \land p \land r \\ &\equiv F \land p \land r \\ &\equiv F \land r \\ &\equiv F \end{align*}

จะเห็นว่า $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ สมมูลกับประพจน์ขัดแย้ง ( $F$ )

ใช้การหาข้อขัดแย้ง

สมมติให้ประพจน์ $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ เป็นเท็จ

เราทราบว่า $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ $(p \rightarrow q)$ หรือ $(r \rightarrow \neg q)$ หรือ $p$ หรือ $r$ เป็นเท็จอย่างน้อยอย่างใดอย่างหนึ่ง

สมมติให้ประพจน์ $r$ เป็นเท็จ
ทำให้ได้ $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land F \equiv F$

จะเห็นว่าไม่เกิดการขัดแย้งในกรณี $r$ เป็นเท็จ
สรุปได้ว่า $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ดังนั้น $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ประพจน์ที่มีค่าความจริงที่เป็นเท็จทุกกรณี จะเรียกว่าข้อขัดแย้ง (Contradiction)

การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล (Argument) หมายถึง การสรุปผลจากเหตุที่ให้มา

กำหนดให้ $p_1,p_2,p_3,...,p_n$ เป็นเหตุ และ $q$ เป็นผล เขียนเป็นรูปสัญลักษณ์ของประพจน์ได้เป็น

(p_1 \land p_2 \land p_3 \land ... \land p_n) \rightarrow q

การตรวจสอบการอ้างเหตุผลมีบทสรุปอยู่สองแบบ ได้แก่ สมเหตุสมผล (Valid) และไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

การตรวจสอบการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล ถ้าประพจน์ $(p_1 \land p_2 \land p_3 \land ... \land p_n) \rightarrow q$ เป็นสัจนิรันดร์

การตรวจสอบการอ้างเหตุผลไม่สมเหตุสมผล ถ้าประพจน์ $(p_1 \land p_2 \land p_3 \land ... \land p_n) \rightarrow q$ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

เราสามารถหาสัจนิรันดร์ได้ดังวิธีที่เคยได้กล่าวไว้ เช่น ใช้ตารางค่าความจริง หรือหาข้อขัดแย้ง
หรือสามารถใช้ กฎการอนุมาน (Rule of Inference) เพื่อช่วยในการตรวจสอบการอ้างเหตุผล

ชื่อกฎ	เหตุ	ผล
Modus ponens	$p \rightarrow q$ $p$	$q$
Modus tollens	$p \rightarrow q$ $\neg q$	$\neg p$
Hypothetical syllogism	$p \rightarrow q$ $q \rightarrow r$	$p \rightarrow r$
Disjunctive syllogism	$p \lor q$ $\neg p$	$q$
Conjunction	$p$ $q$	$p \land q$
Simplification	$p \land q$	$p$
Addition	$p$	$p \lor q$

โดยเราจะพยายามจัดรูปเหตุให้อยู่ในรูปที่สมมูลที่รู้จัก หากรูปแบบตรงกับกฎใดกฏหนึ่ง ก็สามารถสรุปได้ว่าสมเหตุสมผล

ตัวบ่งปริมาณ

จากความหมายของประพจน์ เราทราบว่าประพจน์สามารถบอกได้เลยว่ามีค่าจริงหรือเท็จ แต่บางประโยคที่มีการแทนด้วย ตัวแปร (Variable) ซึ่งหากแทนค่าตัวแปรด้วยค่าบางค่าแล้วสามารถหาค่าความจริงได้ กล่าวคือเป็นประพจน์ ประโยคเหล่านั้น เรียกว่า ประโยคเปิด

ประโยคเปิด (Open sentence) หมายถึง ประโยคที่มีที่ตัวแปรอยู่ในประโยค ซึ่งแทนค่าตัวแปรแล้วกลายเป็นประพจน์ได้ มักแทนด้วยสัญลักษณ์ $P(x)$

ตัวอย่างเช่น

แมวสีขาว
$a$ เป็นจำนวนเต็ม
$x+4=7$
$x+y>0$

ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) หมายถึง สิ่งที่ใช้บอกปริมาณของค่าตัวแปรในประโยคเปิด มีด้วยกันสองประเภท

กำหนดให้ $x$ เป็นตัวแปร ของประโยคเปิด $P(x)$

สำหรับ $x$ ทุกตัว (For all) แทนด้วย $\forall x[P(x)]$
สำหรับ $x$ บางตัว (For some) แทนด้วย $\exist x[P(x)]$

เมื่อใช้ตัวบ่งปริมาณไปกับประโยคเปิด ประโยคใหม่ที่ได้จะกลายเป็นประพจน์

$\forall x[P(x)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ ทุกตัว ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง

$\forall x[P(x)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี $x$ บางตัว ทำให้ $P(x)$ เป็นเท็จ

$\exist x[P(x)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี $x$ บางตัว ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง

$\exist x[P(x)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ ทุกตัว ทำให้ $P(x)$ เป็นเท็จ

จำเป็นที่จะต้องกำหนดขอบเขตของตัวแปรตัวแปร $x$ หรือเอกภพสัมพัทธ์สำหรับ $x$ ด้วย ในที่นี้ การละไว้มักจะถือว่าเอกภพสัมพัทธ์เป็นจำนวนจริง

ประโยคเปิดที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว ก็มีความหมายในทางเดียวกันกับประโยคเปิดหนึ่งตัวแปร ในที่นี้ จะเสริมเรื่องค่าความจริงของประโยคเปิดสองตัวแปร

$\forall x\forall y[P(x,y)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ และ $y$ ทุกคู่ ทำให้ $P(x,y)$ เป็นจริง

$\forall x\forall y[P(x,y)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี $x$ และ $y$ บางคู่ ทำให้ $P(x,y)$ เป็นเท็จ

$\exist x\exist y[P(x,y)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี $x$ และ $y$ บางคู่ ทำให้ $P(x,y)$ เป็นจริง

$\exist x\exist y[P(x,y)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ และ $y$ ทุกคู่ ทำให้ $P(x,y)$ เป็นเท็จ

$\exist x\forall y[P(x,y)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ก็ต่อเมื่อ มี $x$ บางตัว ที่ทำให้ $P(x,y)$ เป็นจริง สำหรับ $y$ ทุกตัว

$\exist x\forall y[P(x,y)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ ทุกตัว มี $y$ บางตัว ทำให้ $P(x,y)$ เป็นเท็จ

$\forall x\exist y[P(x,y)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ ทุกตัว มี $y$ บางตัว แล้วทำให้ $P(x,y)$ เป็นจริง

$\forall x\exist y[P(x,y)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี $x$ บางตัว ที่ทำให้ $P(x,y)$ เป็นเท็จ สำหรับ $y$ ทุกตัว

นิเสธของตัวบ่งปริมาณ ทำให้ตัวบ่งปริมาณเป็นตรงกันข้าม และประโยคเปิดจะใส่นิเสธ เช่น

$\neg\forall x[P(x)] \equiv \exist x[\neg P(x)]$

$\neg\forall x \exist y[P(x,y)] \equiv \exist x\forall y[\neg P(x,y)]$

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

สารบัญ

ประพจน์
ประพจน์ประกอบและตัวเชื่อมประพจน์
การสมมูลกันของประพจน์
- สมบัติของการสมมูล
- กฏการสมมูลที่ควรทราบ
สัจนิรันดร์
การอ้างเหตุผล
ตัวบ่งปริมาณ

ประพจน์

ตัวอย่างเช่น

วันนี้ฝนตก
กางเกงตัวนี้สีแดง
แมวเป็นสัตว์ปีก
$5 + 3 = 8$
$7 - 1 = -6$

สำหรับประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ เช่น

กินข้าวหรือยัง
วันนี้ฝนไม่ตกใช่หรือไม่
อย่าเดินลัดสนาม
$x + 5 = 2$
$6\times 7$

ประพจน์ที่ได้ยกตัวอย่างไปก่อนหน้านี้นั้นเป็นประพจน์ย่อย

ประพจน์ย่อย (Atomic proposition) คือ ประพจน์ที่ไม่ประกอบด้วยตัวเชื่อมประพจน์ใด ๆ

ประพจน์ที่มีค่าความจริงที่เป็น จริง แทนด้วย $T$

ประพจน์ที่มีค่าความจริงที่เป็น เท็จ แทนด้วย $F$

ประพจน์ประกอบและตัวเชื่อมประพจน์

นิเสธ (Negation) [NOT]

เป็นตัวเชื่อมประพจน์เดี่ยวที่ทำให้ค่าความจริงเป็นตรงข้าม

กำหนดให้ $p$ เป็นประพจน์

ประพจน์นิเสธของ $p$ แทนด้วย $\sim p$ หรือ $\neg p$

$p$	$\neg p$
$T$	$F$
$F$	$T$

ตัวร่วม (และ) (Conjunction) [AND]

กำหนดให้ $p$ และ $q$ เป็นประพจน์

ประพจน์ร่วมของ $p$ และ $q$ แทนด้วย $p \land q$

$p$	$q$	$p \land q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$

ตัวเลือก (หรือ) (Disjunction) [OR]

กำหนดให้ $p$ และ $q$ เป็นประพจน์

ประพจน์เลือกของ $p$ และ $q$ แทนด้วย $p \lor q$

$p$	$q$	$p \lor q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$

ตัวตาม (ถ้า-แล้ว) (Implication) [IF-THEN]

ประพจน์ตามของ $p$ และ $q$ แทนด้วย $p \rightarrow q$

$p$	$q$	$p \rightarrow q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$

ตัวสมมูล (ก็ต่อเมื่อ) (Biconditional) [IFF]

ประพจน์สมมูลของ $p$ และ $q$ แทนด้วย $p \leftrightarrow q$

$p$	$q$	$p \leftrightarrow q$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$

ตารางค่าความจริงของตัวเชื่อมประพจน์ต่าง ๆ

$p$	$q$	$\neg p$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \rightarrow q$	$p \leftrightarrow q$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$

การสมมูลกันของประพจน์

กำหนดให้ $p,q$ เป็นประพจน์

สมบัติของการสมมูล

กำหนดให้ $p,q,r$ เป็นประพจน์

สมบัติการสะท้อน

$p \equiv p$

สมบัติการสมมาตร

ถ้า $p \equiv q$ แล้ว $q \equiv p$

สมบัติการถ่ายทอด

ถ้า $p \equiv q$ และ $q \equiv r$ แล้ว $p \equiv r$

ถ้า $q$ เป็นประพจน์ที่สมมูลกับ $p$ แล้วจะเรียก $\neg q$ ว่าเป็นประพจน์นิเสธของ $p$

กฏการสมมูลที่ควรทราบ

ชื่อกฎ	ประพจน์
Identity Law	$p \land T \equiv p$ $p \lor F \equiv p$
Domination Law	$p \land F \equiv F$ $p \lor T \equiv T$
Negations Law	$p \land \neg p \equiv F$ $p \lor \neg p \equiv T$
Double Negation Law	$\neg (\neg p) \equiv p$
Idempotent Law	$p \land p \equiv p$ $p \lor p \equiv p$
Commutative Law	$p \land q \equiv q \land p$ $p \lor q \equiv q \lor p$
Associative Law	$(p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r)$ $(p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r)$
Distributive Law	$(p \land q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (q \lor r)$ $(p \lor q) \land r \equiv (p \land r) \lor (q \land r)$
De Morgan's Law	$\neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$ $\neg (p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$
Absorption Law	$p \land (p \lor q) \equiv p$ $p \lor (p \land q) \equiv p$
Implication Law	$p \rightarrow q \equiv \neg p \lor q$
Negation of Implication	$\neg (p \rightarrow q) \equiv p \land \neg q$
Contrapositive Law	$p \rightarrow q \equiv \neg q \rightarrow \neg p$
Distributive of Implication	$(p \rightarrow q) \land (p \rightarrow r) \equiv p \rightarrow (q \land r)$ $(p \rightarrow q) \lor (p \rightarrow r) \equiv p \rightarrow (q \lor r)$ $(p \rightarrow r) \land (q \rightarrow r) \equiv (p \lor q) \rightarrow r$ $(p \rightarrow r) \lor (q \rightarrow r) \equiv (p \land q) \rightarrow r$
Biconditional	$p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p)$ $p \leftrightarrow q \equiv \neg p \leftrightarrow \neg q$ $p \leftrightarrow q \equiv (p \land r) \lor (\neg p \land \neg q)$
Negation of Biconditional	$\neg (p \leftrightarrow q) \equiv \neg p \leftrightarrow q \equiv p \leftrightarrow \neg q$

สำหรับประพจน์ที่ซับซ้อนขึ้น เราสามารถแปลงรูปประพจน์ให้เป็นประพจน์ที่สมมูลกันได้ จนกว่าจะได้รูปที่สมมูลที่รู้จัก หรือสามารถใช้ตารางค่าความจริงเพื่อหาการสมมูลกันได้เช่นกัน

สัจนิรันดร์

สัจนิรันดร์ (Tautology) หมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงที่เป็นจริงทุกกรณี

การตรวจสอบสัจนิรันดร์ มีเทคนิคการตรวจสอบ ดังนี้

สร้างตารางค่าความจริง : โดยตรวจสอบว่าประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
ใช้การสมมูล : บางประพจน์สมมูลกับ $T$ $T$ สามารถจัดรูปประพจน์ให้สอดคล้องกับกฎการสมมูลหรือรูปแบบที่ทราบว่าเป็นสัจนิรันดร์แน่แล้ว เช่น
- $p \lor T$
- $p \lor \neg p$
- $p \rightarrow T$
- $F \rightarrow q$
ใช้การหาข้อขัดแย้ง : บางประพจน์สมมูลกับ $F$ หากเราสามารถหาข้อขัดแย้งว่าประพจน์นี้ไม่สมมูลกับ $F$ เลยแม้แต่กรณีเดียว แล้วประพจน์จะถือเป็นสัจนิรันดร์ หรือในทางกลับกัน หากเราพบว่าประพจน์ไม่เกิดข้อขัดแย้ง แม้เพียงหนึ่งกรณี แล้วประพจน์นั้นจะไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า $p \lor \neg p$ เป็นสัจนิรันดร์

ใช้ตารางค่าความจริง

$p$	$\neg p$	$p \lor \neg p$
$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$

จากตาราง จะพบว่า $p \lor \neg p$ เป็นจริงทุกกรณี
ดังนั้น $p \lor \neg p$ เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า $(p \lor \neg p) \rightarrow q$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

เราทราบดีว่า $p \lor \neg p$ เป็นสัจนิรันดร์
ทำให้สามารถย่อรูปได้เป็น $T \rightarrow q$

ใช้ตารางค่าความจริง

$q$	$T \rightarrow q$
$T$	$T$
$F$	$F$

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า $(p \rightarrow q) \lor \neg q$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

ใช้ตารางค่าความจริง

$p$	$q$	$p \rightarrow q$	$\neg q$	$(p \rightarrow q) \lor \neg p$
$T$	$T$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$

จากตาราง จะพบว่า $(p \rightarrow q) \lor \neg q$ เป็นจริงทุกกรณี

ใช้การสมมูล

\begin{align*} (p \rightarrow q) \lor \neg q &\equiv (\neg p \lor q) \lor \neg q \\ &\equiv \neg p \lor (q \lor \neg q) \\ &\equiv \neg p \lor T \\ &\equiv T \end{align*}

จะเห็นว่า $(p \rightarrow q) \lor \neg q$ สมมูลกับประพจน์สัจนิรันดร์ ( $T$ )

ใช้การหาข้อขัดแย้ง

สมมติให้ประพจน์ $(p \rightarrow q) \lor \neg q$ เป็นเท็จ

ดังนั้น $(p \rightarrow q) \lor \neg p$ เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

ใช้ตารางค่าความจริง

$p$	$q$	$r$	$p \rightarrow q$	$\neg q$	$r \rightarrow \neg q$	$(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$

จากตาราง จะพบว่า $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ เป็นเท็จทุกกรณี

ใช้การสมมูล

\begin{align*} (p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r &\equiv (\neg p \lor q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r \\ &\equiv [(\neg p \lor q) \land p] \land (r \rightarrow \neg q) \land r \\ &\equiv [(\neg p \land p) \lor (q \land p)] \land (r \rightarrow \neg q) \land r \\ &\equiv [F \lor (q \land p)] \land (r \rightarrow \neg q) \land r \\ &\equiv q \land p \land (r \rightarrow \neg q) \land r \\ &\equiv q \land p \land (\neg r \lor \neg q) \land r \\ &\equiv q \land p \land [(\neg r \lor \neg q) \land r] \\ &\equiv q \land p \land [(\neg r \land r) \lor (\neg q \land r)] \\ &\equiv q \land p \land [F \lor (\neg q \land r)] \\ &\equiv q \land p \land \neg q \land r \\ &\equiv q \land \neg q \land p \land r \\ &\equiv F \land p \land r \\ &\equiv F \land r \\ &\equiv F \end{align*}

จะเห็นว่า $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ สมมูลกับประพจน์ขัดแย้ง ( $F$ )

ใช้การหาข้อขัดแย้ง

สมมติให้ประพจน์ $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ เป็นเท็จ

สมมติให้ประพจน์ $r$ เป็นเท็จ
ทำให้ได้ $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land F \equiv F$

ดังนั้น $(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ประพจน์ที่มีค่าความจริงที่เป็นเท็จทุกกรณี จะเรียกว่าข้อขัดแย้ง (Contradiction)

การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล (Argument) หมายถึง การสรุปผลจากเหตุที่ให้มา

(p_1 \land p_2 \land p_3 \land ... \land p_n) \rightarrow q

การตรวจสอบการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล ถ้าประพจน์ $(p_1 \land p_2 \land p_3 \land ... \land p_n) \rightarrow q$ เป็นสัจนิรันดร์

การตรวจสอบการอ้างเหตุผลไม่สมเหตุสมผล ถ้าประพจน์ $(p_1 \land p_2 \land p_3 \land ... \land p_n) \rightarrow q$ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ชื่อกฎ	เหตุ	ผล
Modus ponens	$p \rightarrow q$ $p$	$q$
Modus tollens	$p \rightarrow q$ $\neg q$	$\neg p$
Hypothetical syllogism	$p \rightarrow q$ $q \rightarrow r$	$p \rightarrow r$
Disjunctive syllogism	$p \lor q$ $\neg p$	$q$
Conjunction	$p$ $q$	$p \land q$
Simplification	$p \land q$	$p$
Addition	$p$	$p \lor q$

ตัวบ่งปริมาณ

ตัวอย่างเช่น

แมวสีขาว
$a$ เป็นจำนวนเต็ม
$x+4=7$
$x+y>0$

กำหนดให้ $x$ เป็นตัวแปร ของประโยคเปิด $P(x)$

สำหรับ $x$ ทุกตัว (For all) แทนด้วย $\forall x[P(x)]$
สำหรับ $x$ บางตัว (For some) แทนด้วย $\exist x[P(x)]$

$\forall x[P(x)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ ทุกตัว ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง

$\forall x[P(x)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี $x$ บางตัว ทำให้ $P(x)$ เป็นเท็จ

$\exist x[P(x)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี $x$ บางตัว ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง

$\exist x[P(x)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ ทุกตัว ทำให้ $P(x)$ เป็นเท็จ

จำเป็นที่จะต้องกำหนดขอบเขตของตัวแปรตัวแปร $x$ หรือเอกภพสัมพัทธ์สำหรับ $x$ ด้วย ในที่นี้ การละไว้มักจะถือว่าเอกภพสัมพัทธ์เป็นจำนวนจริง

$\forall x\forall y[P(x,y)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ และ $y$ ทุกคู่ ทำให้ $P(x,y)$ เป็นจริง

$\forall x\forall y[P(x,y)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี $x$ และ $y$ บางคู่ ทำให้ $P(x,y)$ เป็นเท็จ

$\exist x\exist y[P(x,y)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี $x$ และ $y$ บางคู่ ทำให้ $P(x,y)$ เป็นจริง

$\exist x\exist y[P(x,y)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ และ $y$ ทุกคู่ ทำให้ $P(x,y)$ เป็นเท็จ

$\exist x\forall y[P(x,y)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ก็ต่อเมื่อ มี $x$ บางตัว ที่ทำให้ $P(x,y)$ เป็นจริง สำหรับ $y$ ทุกตัว

$\exist x\forall y[P(x,y)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ ทุกตัว มี $y$ บางตัว ทำให้ $P(x,y)$ เป็นเท็จ

$\forall x\exist y[P(x,y)]$ เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ สำหรับ $x$ ทุกตัว มี $y$ บางตัว แล้วทำให้ $P(x,y)$ เป็นจริง

$\forall x\exist y[P(x,y)]$ เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี $x$ บางตัว ที่ทำให้ $P(x,y)$ เป็นเท็จ สำหรับ $y$ ทุกตัว

$\neg\forall x[P(x)] \equiv \exist x[\neg P(x)]$

$\neg\forall x \exist y[P(x,y)] \equiv \exist x\forall y[\neg P(x,y)]$

$p$	$q$	$\neg p$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \rightarrow q$	$p \leftrightarrow q$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$

$p$	$q$	$p \rightarrow q$	$\neg q$	$(p \rightarrow q) \lor \neg p$
$T$	$T$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$

$p$	$q$	$r$	$p \rightarrow q$	$\neg q$	$r \rightarrow \neg q$	$(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$

$p$	$q$	$\neg p$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \rightarrow q$	$p \leftrightarrow q$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$

$p$	$q$	$p \rightarrow q$	$\neg q$	$(p \rightarrow q) \lor \neg p$
$T$	$T$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$

$p$	$q$	$r$	$p \rightarrow q$	$\neg q$	$r \rightarrow \neg q$	$(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$

$p$	$q$	$\neg p$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \rightarrow q$	$p \leftrightarrow q$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$

$p$	$q$	$p \rightarrow q$	$\neg q$	$(p \rightarrow q) \lor \neg p$
$T$	$T$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$

$p$	$q$	$r$	$p \rightarrow q$	$\neg q$	$r \rightarrow \neg q$	$(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow \neg q) \land p \land r$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$