เซตเบื้องต้น

สารบัญ

• ความหมายของเซต
• สมาชิกของเซต
• การเขียนเซต
• ประเภทของเซต
• เซตของจำนวน
• จำนวนสมาชิกในเซต
• เซตว่าง
• เอกภพสัมพัทธ์
• เซตที่เท่ากัน และเซตที่เทียบเท่ากัน
• สับเซต (เซตย่อย)
  • สับเซตทั้งหมด
• เพาเวอร์เซต (เซตกำลัง)
• แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์
• การดำเนินการบนเซต
  • ยูเนียน (ส่วนรวมเซต)
    • สมบัติของยูเนียน
  • อินเตอร์เซกชัน (ส่วนร่วมเซต)
    • สมบัติของอินเตอร์เซกชัน
  • คอมพลีเมนต์ (ส่วนเติมเต็ม)
    • สมบัติของคอมพลีเมนต์
  • ผลต่างเซต
    • สมบัติของผลต่างเซต
• การประยุกต์ของจำนวนสมาชิก

ความหมายของเซต

เซต (Set) หมายถึง สิ่งที่แสดงถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่สนใจ โดยสามารถบอกได้อย่างแน่ชัดว่าสิ่งนั้นอยู่ในกลุ่มหรือไม่ เช่น เซตของผลไม้ เราบอกได้ว่าแมวไม่อยู่ในเซตของผลไม้ และแตงโมอยู่ในเซตของผลไม้ หรือกลุ่มของคนที่มีฐานะรวย สิ่งนี้ไม่เป็นเซต เพราะมีความคลุมเครือตรงที่บอกไม่ได้ว่าคนที่มีฐานะรวยต้องรวยแค่ไหน ในทางคณิตศาสตร์ เราใช้เซตเพื่ออธิบายกลุ่มของจำนวน หรือกลุ่มของสิ่งที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อื่น ๆ

สมาชิกของเซต

สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่า สมาชิก (Element หรือ Member) โดยใช้สัญลักษณ์ $\in$ เพื่อระบุว่าสิ่งนั้นเป็นสมาชิกในเซต

ข้อความ "$a$ เป็นสมาชิกในเซต $A$" แทนด้วยสัญลักษณ์ $a\in A$

ข้อความ "$b$ เป็นไม่สมาชิกในเซต $A$" แทนด้วยสัญลักษณ์ $b\notin A$

การเขียนเซต

เซตสามารถเขียนได้สองรูปแบบ

แบบแจกแจง (Tabular form) : เขียนแจกแจงทุกสมาชิกในเซตภายใต้ $\{\}$ คั่นด้วย $,$

• เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า $4$ แทนด้วย

• เซตของจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า $5$ แทนด้วย

แบบบอกเงื่อนไข (Set builder form) : เขียนสมาชิกตัวแทนเพื่อกำหนดขอบเขต คั่นด้วย $:$ หรือ $|$ แล้วบอกเงื่อนไขภายในเซต

• เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า $4$ แทนด้วย

• เซตของจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า $5$ แทนด้วย

เรามักใช้อักษรภาษาอังกฤษพิมพ์ใหญ่เพื่อแทนเซต

ประเภทของเซต

เซตแบ่งออกเป็นสองประเภทตามจำนวนสมาชิก ดังนี้ เซตจำกัด (Finite set) หมายถึง เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นศูนย์หรือจำนวนนับที่บอกเป็นจำนวนแน่นอนได้ เช่น เซตของวันในสัปดาห์ เซตของแบรนด์น้ำดื่มในไทย

เซตอนันต์ (Infinite set) หมายถึง เซตที่ไม่เป็นเซตจำกัด กล่าวคือบอกจำนวนที่แน่นอนไม่ได้ว่ามีเท่าใด เช่น เซตของจำนวนจริงที่อยู่ระหว่าง $0$ กับ $1$ เซตของจำนวนเต็ม

เซตของจำนวน

เซตดังต่อไปนี้กำหนดชื่อไว้ เพื่อให้เข้าใจตรงกันเท่านั้น บางแห่งอาจจะใช้สัญลักษณ์อื่นในการสื่อความหมาย

จำนวนสมาชิกในเซต

กำหนดให้ $A$ เป็นเซต

จำนวนสมาชิกในเซต $A$ แทนด้วย $n(A)$ หรือ $|A|$

สมาชิกในเซตที่ซ้ำกันนับเป็นตัวเดียวกัน เช่น $A=\{\;1,2,2\;\}$ มีค่าเท่ากับ $\{\;1,2\;\}$ ซึ่งได้ $n(A)=2$

เซตว่าง

กำหนดให้ $A$ เป็นเซต

ถ้า $n(A)=0$ หรือเซต $A$ ไม่มีสมาชิกใด ๆ เลยอยู่ในเซต แล้วเราจะเรียกเซต $A$ ว่าเป็นเซตว่าง (Empty set) แทนด้วยสัญลักษณ์ $\{\;\}$ หรือ $\varnothing$

เซตของเซตว่างไม่เป็นเซตว่าง

$$\{\varnothing\}\ne \varnothing$$

เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative universe) หมายถึงขอบเขตของสมาชิกสำหรับใช้ในแต่ละเซตที่อยู่ภายใต้เอกภพสัมพัทธ์นั้น แทนด้วยสัญลักษณ์ $U$

ตัวอย่าง กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์เป็น $\{\;-1,0,1\;\}$ และเซต $A$ เป็นเซตภายใต้เอกภพสัมพัทธ์ $U$ โดย $A$ เป็นเซตของจำนวนเต็มที่มากกว่า $0$ จงแจกแจงสมาชิกในเซต $A$

จากโจทย์ เซต $A$ เมื่อแจกแจงแล้วจะได้ $\{\;1,2,3,4,5,...\;\}$ แต่เนื่องจาก A เป็นเซตภายใต้ $U$ ดังนั้น สมาชิกในเซต $A$ มีเพียงแค่ $1$ ตัวเดียวเท่านั้น ($2,3,4,5,...$ ไม่ได้อยู่ใน $U$)

ดังนั้น $A=\{\;1\;\}$

โดยทั่วไปแล้วหากไม่กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง

เซตที่เท่ากัน และเซตที่เทียบเท่ากัน

กำหนดให้ $A,B$ เป็นเซต

$A$ และ $B$ จะเป็นเซตที่เท่ากัน (Equal set) ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ สมาชิกในเซต $A$ เป็นสมาชิกในเซต $B$ และทุก ๆ สมาชิกในเซต $B$ เป็นสมาชิกในเซต $A$ กล่าวคือ ทั้งสองเซตต้องมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกเหมือนกันทุกประการ แทนด้วย $A=B$

$A$ และ $B$ จะเป็นเซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent set) ก็ต่อเมื่อ ทั้งสองเซตมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน แทนด้วย $A\thicksim B$

เซตคู่ใดเป็นเซตที่เท่ากัน ย่อมเป็นเซตที่เทียบเท่ากันด้วย

สับเซต (เซตย่อย)

กำหนดให้ $A,B$ เป็นเซต

$A$ จะเป็น สับเซต หรือเซตย่อย (Subset) ของ $B$ ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ สมาชิกในเซต $A$ เป็นสมาชิกของเซต $B$ แทนด้วย $A\subset B$

ถ้า $A$ ไม่เป็นสับเซตของ $B$ แทนด้วย $A\not\subset B$

ตัวอย่าง กำหนดให้ $A=\{\;1,3\;\}$ และ $B=\{\;1,2,3\;\}$ เซต $A$ เป็นสับเซตของเซต $B$ เพราะ $1,3$ เป็นสมาชิกในเซต $B$ ทั้งหมด แต่เซต $B$ ไม่เป็นสับเซตของเซต $A$ เพราะมี $2$ ที่ไม่ได้เป็นสมาชิกในเซต $A$

บางแห่งอาจทำให้รัดกุมขึ้น โดยใช้สัญลักษณ์ $A\subset B$ แทนความหมายว่า A เป็น สับเซตแท้ (Proper subset) ของ $B$ ซึ่งหมายถึง "$A$ จะเป็นสับเซตได้ ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ สมาชิกในเซต $A$ เป็นสมาชิกในเซต $B$ และ $A\ne B$" แต่จะใช้สัญลักษณ์ $A\sube B$ แทนสับเซตที่อนุญาตให้เซตเท่ากันได้

ในที่นี้จะใช้สัญลักษณ์แบบรัดกุมเพื่อให้เข้าใจความหมายโดยแท้ แต่ในความเป็นจริง หากไม่มีข้อกำหนดเอาไว้ ก็ให้ถือว่า $\subset$ แทนสับเซตที่เท่ากันได้ (อิงตามหนังสือเรียนระดับมัธยม)

สับเซตทั้งหมด

เราสามารถหาสับเซตทั้งหมดในเซตได้ โดยการเลือกสมาชิกในเซตแบบไม่สนใจตำแหน่งที่เป็นไปได้มาทั้งหมด เพื่อสร้างเป็นเซตใหม่ที่เป็นสับเซตของเซตตั้งต้น

ตัวอย่าง จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต $A=\{\;1,2,3\;\}$

จากเซต $A$ เลือกสมาชิกในเซตมา $0$ ตัวเพื่อสร้างเซตใหม่ : $\{\;\}$ หรือ $\varnothing$ เลือกสมาชิกในเซตมา $1$ ตัวเพื่อสร้างเซตใหม่ : $\{1\},\{2\},\{3\}$ เลือกสมาชิกในเซตมา $2$ ตัวเพื่อสร้างเซตใหม่ : $\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}$ เลือกสมาชิกในเซตมา $3$ ตัวเพื่อสร้างเซตใหม่ : $\{1,2,3\}$

ดังนั้น สับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $A$ ได้แก่

เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต

เซตว่างเป็นสับเซตแท้ของทุกเซต ยกเว้นเซตที่เป็นเซตว่าง

เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง

เซตทุกเซตไม่เป็นสับเซตแท้ของตัวมันเอง

ถ้า $A$ เป็นเซตและมีจำนวนสมาชิก $n$ ตัว แล้วจำนวนสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $A$ เป็น $2^n$ และจำนวนสับเซตแท้ทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $A$ เป็น $2^n-1$

เพาเวอร์เซต (เซตกำลัง)

กำหนดให้ $A$ เป็นเซต เพาเวอร์เซต (Power set) หรือเซตกำลังของ $A$ หมายถึง เซตของสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต $A$ แทนด้วย $P(A)$

ตัวอย่าง จงหา $P(\{\;1,2\;\})$

เลือกสมาชิกในเซตมา $0$ ตัวเพื่อสร้างเซตใหม่ : $\{\;\}$ หรือ $\varnothing$ เลือกสมาชิกในเซตมา $1$ ตัวเพื่อสร้างเซตใหม่ : $\{1\},\{2\}$ เลือกสมาชิกในเซตมา $2$ ตัวเพื่อสร้างเซตใหม่ : $\{1,2\}$

ดังนั้น $P(\{\;1,2\;\})=\{\;\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\;\}$

ตัวอย่าง จงหาจำนวนสมาชิกของเซตกำลังของเซตว่าง

เลือกสมาชิกในเซตมา $0$ ตัวเพื่อสร้างเซตใหม่ : $\{\;\}$ หรือ $\varnothing$

จะได้ $P(\varnothing)=\{\varnothing\}$

ดังนั้น $n(P(\varnothing))=1$

หรือหาโดยตรงได้เลยจาก $2^0=1$

แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์

แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์ (Venn - Euler diagram) เป็นแผนภาพที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ของเซต โดยมีส่วนประกอบของแผนภาพเพียงสองสิ่ง ได้แก่ กรอบสี่เหลี่ยมมุมฉาก ใช้แทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิด (ส่วนใหญ่ใช้เป็นวงกลม หรือวงรี) ใช้แทนเซตในเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างแผนภาพ

กำหนดเอกภพสัมพัทธ์จำนวนจริง $\mathbb{R}$

$A=\{1,2,3,4\}$

$B=\{-1,0,1\}$

$C=\{3,4\}$

$D=\{-0.5,0.5\}$

การดำเนินการบนเซต

ยูเนียน (ส่วนรวมเซต)

ยูเนียน (Union) หรือส่วนรวมของเซต เป็นการดำเนินการบนเซตที่สร้างเซตใหม่โดยการนำสมาชิกในแต่ละเซตในการยูเนียนมารวมกัน แทนการยูเนียนด้วยสัญลักษณ์ $\cup$

กำหนดให้ $A,B$ เป็นเซต และ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ $A,B$ ยูเนียนระหว่างเซต $A$ และเซต $B$ ได้ผลลัพธ์เป็นเซตใหม่โดยมีสมาชิกในเซตมาจากเซต $A$ หรือมาจากเซต $B$ แทนด้วยนิพจน์

แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์ต่อไปนี้ ส่วนที่ลงสีคือการยูเนียน

สมบัติของยูเนียน

กำหนดให้ $A,B,C$ เป็นเซต และ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ $A,B$

$A\cup B=B\cup A$

$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$

ถ้า $A=B$ แล้ว $A\cup B=A$ หรือ $B$ ทำให้ได้สมบัติ

$A\cup A=A$

ถ้า $A\subset B$ แล้ว $A\cup B=B$

$A\cup U=U=U\cup A$ (สอดคล้องกับสมบัติก่อนหน้าเพราะ $A\subset U$)

$A\cup\varnothing=A=\varnothing\cup A$ (สอดคล้องกับสมบัติก่อนหน้าเพราะ $\varnothing\subset A$)

อินเตอร์เซกชัน (ส่วนร่วมเซต)

อินเตอร์เซกชัน (Intersection) หรือส่วนร่วมของเซต เป็นการดำเนินการบนเซตที่จะตัดสมาชิกที่ปรากฏในเซตหนึ่ง แต่ไม่ปรากฏในเซตอื่น ๆ ในการอินเตอร์เซกชัน เมื่อตัดสมาชิกจนหมดแล้ว จะเหลือเพียงสมาชิกที่ปรากฏอยู่ในทุก ๆ เซตเท่านั้น แทนการอินเตอร์เซกชันด้วยสัญลักษณ์ $\cap$

กำหนดให้ $A,B$ เป็นเซต และ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ $A,B$ อินเตอร์เซกชันระหว่างเซต $A$ และเซต $B$ ได้ผลลัพธ์เป็นเซตใหม่โดยมีสมาชิกในเซตมาจากเซต $A$ และมาจากเซต $B$ แทนด้วยนิพจน์

แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์ต่อไปนี้ ส่วนที่ลงสีคือการอินเตอร์เซกชัน

สมบัติของอินเตอร์เซกชัน

กำหนดให้ $A,B,C$ เป็นเซต และ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ $A,B$

$A\cap B=B\cap A$

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

ถ้า $A=B$ แล้ว $A\cap B=A$ หรือ $B$ ทำให้ได้สมบัติ

$A\cap A=A$

ถ้า $A\subset B$ แล้ว $A\cap B=A$

$A\cap U=A=U\cap A$ (สอดคล้องกับสมบัติก่อนหน้าเพราะ $A\subset U$)

$A\cap\varnothing=\varnothing=\varnothing\cap A$ (สอดคล้องกับสมบัติก่อนหน้าเพราะ $\varnothing\subset A$)

สมบัติการแจกแจงของยูเนียน และอินเตอร์เซ็กชัน

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$

$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$

คอมพลีเมนต์ (ส่วนเติมเต็ม)

คอมพลีเมนต์ (Complement) หรือส่วนเติมเต็ม เป็นการดำเนินการบนเซตที่เท่ากับการหาผลต่างระหว่างเอกภพสัมพัทธ์กับเซตตั้งต้น โดยใช้เอกภพสัมพัทธ์ตั้ง แทนคอมพลีเมนต์ด้วยสัญลักษณ์ $'$

กำหนดให้ $A$ เป็นเซต และ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ $A$ คอมพลีเมนต์ของเซต $A$ ได้ผลลัพธ์เป็นเซตใหม่โดยมีสมาชิกในเซตมาจากเอกภพสัมพัทธ์ $U$ แต่ไม่ได้จากเซต $A$ แทนด้วยนิพจน์

แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์ต่อไปนี้ ส่วนที่ลงสีคือคอมพลีเมนต์ของ $A$

สมบัติของคอมพลีเมนต์

กำหนดให้ $A,B$ เป็นเซต และ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ $A,B$

$\varnothing'=U$

$U'=\varnothing$

$A\cup A'=U$

$A\cap A'=\varnothing$

$(A')'=A$

De Morgan's law

$(A\cup B)'=A'\cap B'$ > $(A\cap B)'=A'\cup B'$

ผลต่างเซต

ผลต่างเซต (Difference) เป็นการดำเนินการบนเซตที่จะตัดสมาชิกที่ซ้ำกับเซตอื่นออกจากเซตตั้งต้น แทนผลต่างเซตด้วยสัญลักษณ์ $-$

กำหนดให้ $A,B$ เป็นเซต และ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ $A,B$ อินเตอร์เซกชันระหว่างเซต $A$ และเซต $B$ ได้ผลลัพธ์เป็นเซตใหม่โดยมีสมาชิกในเซตมาจากเซต $A$ แต่ไม่ได้จากเซต $B$ แทนด้วยนิพจน์

$A-B\ne B-A$ เสมอไป

แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์ต่อไปนี้ ส่วนที่ลงสีคือผลต่างเซตของ $A-B$

สมบัติของผลต่างเซต

กำหนดให้ $A,B$ เป็นเซต และ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ $A,B$

$A-B=A\cap B'$

$U-A=A'$

$A-\varnothing=A$

$\varnothing-A=\varnothing$

ถ้า $A\cap B=\varnothing$ แล้ว $A-B=A$

ถ้า $A\subset B$ แล้ว $A-B=\varnothing$

การประยุกต์ของจำนวนสมาชิก

กำหนดให้ $A,B,C$ เป็นเซตในเอกภพสัมพัทธ์ $U$

กรณีเซต $A,B$ เป็นเซตที่ไม่มีความเกี่ยวพันกัน (Disjoint set) กล่าวคือ $A\cap B=\varnothing$ จำนวนสมาชิกของ $A\cup B$ หาได้จากผลรวมของจำนวนสมาชิกของ $A$ กับ $B$

ถ้า $A\cap B=\varnothing$ แล้ว

แต่กรณี $A,B$ เป็นเซตที่เกี่ยวพันกัน (Joint set) กล่าวคือ $A\cap B\ne\varnothing$ เนื่องจากผลรวมของจำนวนสมาชิกของ $A$ กับ $B$ นั้นรวมถึงส่วนที่ซ้ำกันด้วย (ส่วนที่เป็นสมาชิกของ $A\cap B$) ทำให้ได้ว่า

จะได้ว่า

ถ้า $A\cap B\ne\varnothing$ แล้ว

โดยในภาพรวมแล้ว แม้เซตจะไม่เกี่ยวพันกัน แต่เราทราบว่า $n(A\cap B)$ ของกรณีนี้เป็น $0$ ทำให้ได้นิพจน์ทั่วไปคือ

กรณีเป็นเซตสามเซตที่เกี่ยวพันกัน เราจะได้

ตัวอย่าง จากการสัมภาษณ์คน $100$ คน พบว่ามี $68$ คนที่เลี้ยงหมา และ $84$ คนที่เลี้ยงแมว และคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์เหล่านี้ $10$ คน จงหาว่ามีกี่คนที่เลี้ยงทั้งหมาและแมว

สมมติให้ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของการสัมภาษณ์ในครั้งนี้

$A$ เป็นเซตของคนเลี้ยงหมา

$B$ เป็นเซตของคนเลี้ยงแมว

จากโจทย์ จะได้ว่า

$n(U)=100$

$n(A)=68$

$n(B)=84$

$n((A\cup B)')=10$

จะได้ $n(A\cup B)=100-10=90$

โจทย์ต้องการ $n(A\cap B)$

จาก

จะได้

แก้สมการแล้วจะได้ $n(A\cap B)=62$

ดังนั้น มี $62$ คนที่เลี้ยงทั้งหมาและแมว

ตัวอย่าง จากการสำรวจนักเรียน $100$ คน พบว่า $60$ คน ชอบวิชาคณิตศาสตร์ $55$ คน ชอบวิชาวิทยาศาสตร์ $50$ คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษ $30$ คน ชอบทั้งวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ $25$ คน ชอบทั้งวิชาคณิตศาสตร์และภาษาอังกฤษ $20$ คน ชอบทั้งวิชาวิทยาศาสตร์และภาษาอังกฤษ $10$ คน ชอบทั้งสามวิชา จงหาจำนวนคนที่ไม่ชอบทั้งสามวิชา

สมมติให้ $M$ เป็นเซตของคนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์

$S$ เป็นเซตของคนที่ชอบวิชาวิทยาศาสตร์

$E$ เป็นเซตของคนที่ชอบวิชาภาษาอังกฤษ

จากโจทย์ เราทราบว่า

$n(U)=100$

$n(M)=60$

$n(S)=55$

$n(E)=50$

$n(M\cap S)=30$

$n(M\cap E)=25$

$n(S\cap E)=20$

และ $n(M\cap S\cap E)=10$

ซึ่งเราต้องการหา $n((M\cup S\cup E)')$

จาก

จะได้

แก้สมการแล้วจะได้ $n(M\cup S\cup E)=100$

ทำให้ได้

$n((M\cup S\cup E)')=100-100=0$

ดังนั้น ไม่มีใครเลยไม่ชอบทั้งสามวิชา