กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น

สารบัญ

• คู่อันดับ
• กราฟของความสัมพันธ์
• ความสัมพันธ์เชิงเส้น
• สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

คู่อันดับ

จงพิจารณาข้อมูลจากตารางที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสินค้ากับราคาขาย

หรือเขียนแต่ละคู่ให้อยู่ในรูปแบบสัญลักษณ์ได้เป็น

$(1,20), (2,40), (3,60), (4,80), (5,100)$

เราจะเรียกสัญลักษณ์เหล่านี้ว่า คู่อันดับ

คู่อันดับ (Ordered pair) แทนด้วยสัญลักษณ์ $(a,b)$ โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนใด ๆ

การสลับตำแหน่งในคู่อันดับ ทำให้ความหมายเปลี่ยนไป หรือก็คือไม่ได้เท่ากันกับคู่อันดับเดิม เช่น เปลี่ยนจาก $(1,20)$ เป็น $(20,1)$ ความหมายจากตัวอย่างจะเปลี่ยนจาก สินค้า $1$ ชิ้น ราคา $20$ บาท เป็นสินค้า $20$ ชิ้น ราคา $1$ บาท

ถ้า $a\ne b$ แล้ว

$$(a,b) \ne (b,a)$$

กราฟของความสัมพันธ์

นอกจากการแสดงความสัมพันธ์ด้วยตาราง แผนภาพ หรือคู่อันดับแล้ว เรายังสามารถแสดงความสัมพันธ์ในรูปแบบ กราฟ (Graph) ได้ด้วย

ส่วนประกอบที่ใช้ในการแสดงกราฟ เริ่มจากเส้นจำนวนสองเส้นตั้งฉากกันที่จุด $0$ ของทั้งสองเส้น เรียกว่าจุดกำเนิด (Origin) แทนด้วย $O$ เรียกเส้นจำนวนในแนวนอนว่า แกนนอน (Horizontal axis) หรือ แกน $X$ (X-axis) และเรียกเส้นจำนวนในแนวตั้งว่า แกนตั้ง (Vertical axis) หรือ แกน $Y$ (Y-axis) แสดงดังรูป

แกน $X$ และ แกน $Y$ อยู่ในระนาบ (Plane) เดียวกัน บนระนาบนี้ สามารถแบ่งออกได้เป็นสี่ส่วน เรียกว่า จตุภาค (Quadrant) ได้แก่ จตุภาคที่ $1$ จตุภาคที่ $2$ จตุภาคที่ $3$ และจตุภาคที่ $4$ ดังรูป

เราจะใช้ ระบบพิกัดฉาก (Rectangular coordinate system) หรือ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (Cartesian coordinate system) เพื่อแสดงความสัมพันธ์บนระนาบที่เราได้รู้จักกันก่อนหน้านี้

คู่อันดับแต่ละคู่อันดับสามารถแทนได้ด้วยจุดบนระนาบ เรียกจุดบนระนาบนั้นว่า กราฟของคู่อันดับ

กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนใด ๆ จะได้คู่อันดับ $(x,y)$ แทนจุดบนระนาบ โดยสามารถกำหนดพิกัดได้จากการลากเส้นตั้งฉากแกน $X$ ที่ตำแหน่ง $x$ และลากเส้นตั้งฉากแกน $Y$ ที่ตำแหน่ง $y$ จุดตัดที่ได้คือพิกัดของจุด หรือคู่อันดับ $(x,y)$

สมมติจุด $P$ อยู่ที่พิกัด $(x,y)$ เราสามารถแทนจุดนั้นด้วยสัญลักษณ์ $P(x,y)$

จากตัวอย่างความสัมพันธ์ที่ได้กล่าวถึงในช่วงแรก เราจะได้กราฟดังรูป

ความสัมพันธ์เชิงเส้น

พิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้

• ความสัมพันธ์ระหว่างเวลา (วินาที) กับระยะทาง (เมตร)

  เวลา (วินาที)	ระยะทาง (เมตร)
  1	5
  2	10
  3	15
  4	20
  5	25

• ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้าน (หน่วย) กับพื้นที่ (ตารางหน่วย) ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

  ความยาวด้าน	พื้นที่
  1	1
  2	4
  3	9
  4	16
  5	25

จากรูป จะเห็นว่ากราฟของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (สีเขียว) มีแนวโน้มของความสัมพันธ์เป็นแนวโค้ง และกราฟของระยะทาง (สีแดง) มีแนวโน้มของความสัมพันธ์เป็นแนวตรง

• ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนใด ๆ กับสามเท่าของจำนวนนั้น

  $x$	$3x$
  $-2.5$	$-7.5$
  $-1$	$-3$
  $0$	$0$
  $1$	$3$
  $2.5$	$7.5$

จากรูป ความสัมพันธ์ข้างต้น ไม่ว่าจะเป็นจำนวนใด ๆ ก็เป็นความสัมพันธ์ที่มีแนวโน้มเป็นแนวตรง

เราจะเรียกความสัมพันธ์ที่เป็นเส้นตรงนี้ว่า ความสัมพันธ์เชิงเส้น (Linear relation)

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร (Two-variable linear equation) เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เชิงเส้น มีรูปทั่วไปเป็น

เมื่อ $x,y$ เป็นตัวแปรกำลังหนึ่ง และ $A,B,C$ เป็นค่าคงที่ โดยที่ $A,B$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

ในกรณีทั่วไป เราสามารถเปลี่ยนรูปสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ให้อยู่ในรูป

เมื่อ $m,c$ เป็นค่าคงที่

ตัวอย่างเช่น $5x+y-3=0$ แปลงได้เป็น $y=-5x+3$

ด้วยรูปแบบนี้ ทำให้เราสามารถหาค่าของตัวแปรได้ง่ายขึ้น โดยเราจะเรียก $x$ ว่าตัวแปรอิสระ หรือตัวแปรต้น (Independent variable) และเรียก $y$ ว่าเป็นตัวแปรตาม (Dependent variable)

นอกจากนี้ คู่อันดับ $(x,y)$ ที่นำมาแทนในสมการเชิงเส้นสองตัวแปร แล้วทำให้สมการเป็นจริง จะเรียกว่าเป็นคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ

สังเกตกราฟเส้นตรงของสมการเหล่านี้ พร้อมกับส่วนประกอบของสมการ

และสังเกต $x=-2$

จะเห็นว่า สมการที่มีค่า $m>0$ จะทำมุมแหลมกับแกน $X$ ทางบวก สมการที่มีค่า $m=0$ จะขนานกับแกน $X$ สมการที่มีค่า $m<0$ จะทำมุมป้านกับแกน $X$ ทางบวก และ สมการที่ไม่มีค่า $y$ จะตั้งฉากกับแกน $X$ เราจะเรียกค่า $m$ เหล่านี้ว่า ความชัน (Slope)

สมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ไม่มีค่า $y$ หาค่าความชันไม่ได้

นอกจากนี้ จะเห็นว่าค่า $c$ คือระยะตัดแกน $Y$ (Y-intercept)