พหุนาม

สารบัญ

เอกนาม
การบวกลบเอกนาม
พหุนาม
การบวกลบพหุนาม
การคูณหารพหุนาม

เอกนาม

เอกนาม (Monomial) หมายถึง นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เขียนอยู่ในรูปของผลคูณของค่าคงที่ (Constant) กับตัวแปร (Variable) ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป โดยเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์ หรือจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างนิพจน์ที่เป็นเอกนาม

$3x$
$4ab$
$9$
$c^2d$

ตัวอย่างนิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม

$\dfrac{p}{q}$
$x^{-2}$
$a-b$
$5c+d$

เราเรียกค่าคงที่ในเอกนามว่า สัมประสิทธิ์ (Coefficient) และผลรวมเลขชี้กำลังของตัวแปรในเอกนามว่า ดีกรี (Degree) ของเอกนาม เช่น $4x^3y^2z$ มีสัมประสิทธิ์คือ $4$ และดีกรีเป็น $6$ $(3+2+1)$

นิพจน์ค่าคงที่ทุกค่าเป็นเอกนาม นอกจากเอกนาม $0$ แล้ว เอกนามค่าคงที่อื่น ๆ มีดีกรีเป็น $0$

นิพจน์ $0$ เป็นเอกนาม มีสัมประสิทธิ์คือ $0$ แต่หาค่าดีกรีไม่ได้ เพราะไม่สามารถทราบได้แน่ชัดว่าดีกรีเท่าใด (จำนวนจริงใด ๆ คูณด้วยศูนย์ ย่อมมีค่าเป็นศูนย์)

การบวกลบเอกนาม

เอกนามที่คล้ายกัน คือ เอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเหมือนกัน

ตัวอย่างเอกนามที่คล้ายกัน

$5x$ กับ $-4x$
$10$ กับ $0$
$x^2y$ กับ $2x^2y$

ตัวอย่างเอกนามที่ไม่คล้ายกัน

$ab$ กับ $xy$
$a^2b$ กับ $ab^2$
$5$ กับ $5a$

การบวกลบเอกนามที่คล้ายกัน ทำได้โดยการแจกแจงส่วนตัวแปรซึ่งเหมือนกัน ทำให้มีเพียงส่วนสัมประสิทธิ์เท่านั้นที่นำมาบวกลบกัน

ตัวอย่าง $5x+4x$

\begin{aligned} 5x+4x&=(5+4)x \\ &=9x \end{aligned}

ตัวอย่าง $100xy^2-xy^2$

\begin{aligned} 100xy^2-xy^2&=(100-1)xy^2 \\ &=99xy^2 \end{aligned}

สำหรับการบวกลบเอกนามที่ไม่คล้ายกัน จะคงรูปนิพจน์ให้อยู่ในรูปการบวก/ลบดังเดิม เช่น $5x+5y$

การลบ ถือเป็นการบวกด้วยจำนวนตรงข้าม นิพจน์ตรงข้ามของ $x$ คือ $-x$

พหุนาม

พหุนาม (Polynomial) หมายถึง เอกนาม หรือผลบวก/ลบของเอกนามตั้งแต่สองตัวขึ้นไป โดยต่อจากนี้แต่ละเอกนามในพหุนาม จะเรียกว่า พจน์ (Term)

เมื่อพหุนามไม่มีพจน์ที่คล้ายกันอยู่ จะเรียกพหุนามนั้นว่าเป็น พหุนามในรูปสำเร็จ

ดีกรีของพหุนามเท่ากับดีกรีของพจน์ที่มากที่สุดในพหุนามนั้น (ต้องเป็นพหุนามในรูปสำเร็จ)

การบวกลบพหุนาม

ทำการกระจายพจน์ต่าง ๆ ให้อยู่ในรูปการบวกของเอกนามทั้งหมด แล้วทำการรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน เหมือนการบวกลบเอกนาม

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $(5x+y+7z)+(z+4y)$

ทำการกระจายพจน์ได้เป็น $5x+y+7z+z+4y$

ทำการรวมพจน์ได้เป็น $5x+5y+8z$

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $(2a^2+3a+2)-(a^2+4)$

ทำการกระจายพจน์ได้เป็น $2a^2+3a+2-a^2-4$

ทำการรวมพจน์ได้เป็น $a^2+3a-2$

การคูณหารพหุนาม

การคูณพหุนามด้วยเอกนาม

ทำได้โดยการแจกแจงเอกนามที่คูณอยู่ ไปคูณกับแต่ละพจน์ในพหุนามตัวตั้ง

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $3a(5ab+4b)$

\begin{aligned} 3a(5ab+4b)&=3a(5ab)+3a(4b) \\ &=15a^2b+12ab \end{aligned}

การคูณพหุนามด้วยพหุนาม

ทำได้โดยการเลือกพหุนามหนึ่งให้เป็นตัวคูณ แล้วแจกแจงพจน์ของพหุนามตัวคูณทีละพจน์ ไปคูณกับแต่ละพจน์ในพหุนามตัวตั้ง

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $(x+2y)(3x-15xy+2y)$

\begin{aligned} (x+2y)(3x-15xy+2y)&=[x(3x)+x(-15xy)+x(2y)]+[2y(3x)+2y(-15xy)+2y(2y)] \\ &=(3x^2-15x^2y+2xy)+(6xy-30xy^2+4y^2) \\ &=3x^2-15x^2y+2xy+6xy-30xy^2+4y^2 \\ &=3x^2-15x^2y-30xy^2+8xy+4y^2 \end{aligned}

การหารพหุนามด้วยเอกนาม

เมื่อเอกนามที่เป็นตัวหารไม่เป็นศูนย์ เราสามารถหาผลหารได้โดยการกระจายตัวหารให้แต่ละพจน์ของพหุนามตัวตั้ง

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $\dfrac{5x^3-2x^2+5}{5x}$

กำหนดให้ $x$ ไม่เป็นศูนย์

\begin{aligned} \dfrac{5x^3-2x^2+5}{5x}&=\dfrac{5x^3}{5x}+\dfrac{-2x^2}{5x}+\dfrac{5}{5x} \\ &=x^2+\dfrac{-2}{5}x+\dfrac{1}{x} \\ &=x^2-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{x} \end{aligned}

พหุนาม

เอกนาม

ตัวอย่างนิพจน์ที่เป็นเอกนาม

$3x$
$4ab$
$9$
$c^2d$

ตัวอย่างนิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม

$\dfrac{p}{q}$
$x^{-2}$
$a-b$
$5c+d$

เราเรียกค่าคงที่ในเอกนามว่า สัมประสิทธิ์ (Coefficient) และผลรวมเลขชี้กำลังของตัวแปรในเอกนามว่า ดีกรี (Degree) ของเอกนาม เช่น $4x^3y^2z$ มีสัมประสิทธิ์คือ $4$ และดีกรีเป็น $6$ $(3+2+1)$

นิพจน์ค่าคงที่ทุกค่าเป็นเอกนาม นอกจากเอกนาม $0$ แล้ว เอกนามค่าคงที่อื่น ๆ มีดีกรีเป็น $0$

นิพจน์ $0$ เป็นเอกนาม มีสัมประสิทธิ์คือ $0$ แต่หาค่าดีกรีไม่ได้ เพราะไม่สามารถทราบได้แน่ชัดว่าดีกรีเท่าใด (จำนวนจริงใด ๆ คูณด้วยศูนย์ ย่อมมีค่าเป็นศูนย์)

การบวกลบเอกนาม

ตัวอย่างเอกนามที่คล้ายกัน

$5x$ กับ $-4x$
$10$ กับ $0$
$x^2y$ กับ $2x^2y$

ตัวอย่างเอกนามที่ไม่คล้ายกัน

$ab$ กับ $xy$
$a^2b$ กับ $ab^2$
$5$ กับ $5a$

ตัวอย่าง $5x+4x$

\begin{aligned} 5x+4x&=(5+4)x \\ &=9x \end{aligned}

ตัวอย่าง $100xy^2-xy^2$

\begin{aligned} 100xy^2-xy^2&=(100-1)xy^2 \\ &=99xy^2 \end{aligned}

การลบ ถือเป็นการบวกด้วยจำนวนตรงข้าม นิพจน์ตรงข้ามของ $x$ คือ $-x$

พหุนาม

การบวกลบพหุนาม

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $(5x+y+7z)+(z+4y)$

ทำการกระจายพจน์ได้เป็น $5x+y+7z+z+4y$

ทำการรวมพจน์ได้เป็น $5x+5y+8z$

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $(2a^2+3a+2)-(a^2+4)$

ทำการกระจายพจน์ได้เป็น $2a^2+3a+2-a^2-4$

ทำการรวมพจน์ได้เป็น $a^2+3a-2$

การคูณหารพหุนาม

การคูณพหุนามด้วยเอกนาม

ทำได้โดยการแจกแจงเอกนามที่คูณอยู่ ไปคูณกับแต่ละพจน์ในพหุนามตัวตั้ง

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $3a(5ab+4b)$

\begin{aligned} 3a(5ab+4b)&=3a(5ab)+3a(4b) \\ &=15a^2b+12ab \end{aligned}

การคูณพหุนามด้วยพหุนาม

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $(x+2y)(3x-15xy+2y)$

\begin{aligned} (x+2y)(3x-15xy+2y)&=[x(3x)+x(-15xy)+x(2y)]+[2y(3x)+2y(-15xy)+2y(2y)] \\ &=(3x^2-15x^2y+2xy)+(6xy-30xy^2+4y^2) \\ &=3x^2-15x^2y+2xy+6xy-30xy^2+4y^2 \\ &=3x^2-15x^2y-30xy^2+8xy+4y^2 \end{aligned}

การหารพหุนามด้วยเอกนาม

ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ $\dfrac{5x^3-2x^2+5}{5x}$

กำหนดให้ $x$ ไม่เป็นศูนย์

\begin{aligned} \dfrac{5x^3-2x^2+5}{5x}&=\dfrac{5x^3}{5x}+\dfrac{-2x^2}{5x}+\dfrac{5}{5x} \\ &=x^2+\dfrac{-2}{5}x+\dfrac{1}{x} \\ &=x^2-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{x} \end{aligned}