จำนวนจริง

จากบทจำนวนเต็ม รวมถึงบทเศษส่วนและทศนิยม เราได้รู้จักกับจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ศูนย์ เศษส่วน ทศนิยมซ้ำ และทศนิยมไม่ซ้ำ สิ่งเหล่านี้รวมกันเรียกว่า จำนวนจริง (Real number)

สารบัญ

ประเภทของจำนวนจริง
เส้นจำนวน
รากของจำนวนจริง

ประเภทของจำนวนจริง

จำนวนจริงแบ่งออกได้เป็นสองประเภท ได้แก่

จำนวนตรรกยะ (Rational number) หมายถึง จำนวนจริงที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้

ถ้า $Q$ เป็นจำนวนตรรกยะ แล้วจะมีจำนวนเต็ม $a,b$ โดยที่ $b\ne 0$ ที่ทำให้ $Q=\dfrac{a}{b}$

จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ

ทศนิยมซ้ำทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ (Irrational number) หมายถึง จำนวนจริงที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

ถ้า $Q'$ เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้วจะไม่มีจำนวนเต็ม $a,b$ ใด ๆ ที่ทำให้ $Q=\dfrac{a}{b}$

ทศนิยมไม่ซ้ำทุกจำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะ

เส้นจำนวน

เส้นจำนวนของระบบจำนวนจริง เหมือนกันกับเส้นจำนวนของระบบจำนวนเต็ม แต่มีความละเอียดมากขึ้น และจำนวนจริงทุกจำนวนครอบคลุมทุก ๆ จุดบนเส้นจำนวน (จำนวนเต็มจะมีช่องว่างระหว่างจุดแต่ละจำนวน แต่จำนวนจริง คือ รวมถึงส่วนที่ไม่เป็นจำนวนเต็มด้วย) โดยยังได้รับการสืบทอดคุณสมบัติต่าง ๆ เช่นการเปรียบเทียบ และค่าสัมบูรณ์มาเช่นกัน

รากของจำนวนจริง

ในบทเลขยกกำลัง ทำให้เราทราบว่า $3^2=9$ และ $(-3)^2=9$ เราจะเรียก $9$ ว่าเป็นกำลังสองของ $3$ และ $-3$ ในทางกลับกัน เราจะเรียก $3$ และ $-3$ ว่าเป็น รากที่สอง (Square root) ของ $9$

ตัวอย่างอื่น ๆ

รากที่สองของ $16$ ได้แก่ $4$ และ $-4$
รากที่สามของ $27$ ได้แก่ $3$
รากที่สามของ $-27$ ได้แก่ $-3$
รากที่สี่ของ $0.0016$ ได้แก่ $0.2$ และ $-0.2$

ในที่นี้ เรากล่าวถึงเฉพาะรากที่เป็นจำนวนจริงเท่านั้น

กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า $1$ $y$ จะเป็นค่าหลักของรากที่ n (Principal nth root) ของ $x$ ก็ต่อเมื่อ มีสมบัติทั้งสองข้อต่อไปนี้

$y$ เป็นรากที่ $n$ ของ $x$
$xy \ge 0$

แทนค่าหลักของรากด้วยสัญลักษณ์ $\sqrt[n]{x}$

เราอาจเรียก $\sqrt[n]{x}$ ว่ากรณฑ์ที่ $n$ ของ $x$ หรือกรณฑ์อันดับ $n$ ของ $x$

ข้อสังเกต ถ้าอันดับของรากเป็นจำนวนคู่ ค่าหลักของรากจะเป็นบวกเสมอ ถ้าอันดับของรากเป็นจำนวนคี่ ค่าหลักของรากจะมีเครื่องหมายเดียวกับค่าตั้งต้น

ตัวอย่าง

$\sqrt{25}=5$
$\sqrt[3]{27}=3$
$\sqrt[5]{-32}=-2$
$\sqrt{-4}$ หารากที่เป็นจำนวนจริงไม่ได้

เราสามารถสรุปนิยามสำคัญของรากได้ดังนี้

กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า $1$

กรณีที่ $n$ เป็นจำนวนคี่ รากที่ $n$ ของ $x$ ได้แก่ $\sqrt[n]{x}$
กรณีที่ $n$ เป็นจำนวนคู่ รากที่ $n$ ของ $x$ ได้แก่ $\sqrt[n]{x},-\sqrt[n]{x}$

ในการหาค่าของรากของจำนวนจริงบางจำนวน ได้เป็นจำนวนตรรกยะ แต่บางจำนวนได้เป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ ซึ่งเป็นทศนิยมไม่ซ้ำทำให้การเขียนออกมาในรูปทศนิยมทำได้ไม่สะดวกมากนัก ในบางแขนงวิชาจึงใช้ค่าประมาณในการใช้งาน หรือติดไว้ในรูปกรณฑ์

สมบัติของกรณฑ์

กำหนดให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริง และ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า $1$

$\sqrt[n]{0}=0$
$\sqrt[n]{1}=1$
$(\sqrt[n]{a})^n=a$
$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases} \ a &\text{: } n \text{ is odd} \\ |a| &\text{: } n \text{ is even}\end{cases}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

รูปอย่างง่ายของกรณฑ์

จำนวนในรูปกรณฑ์บางจำนวนสามารถถอดรูปเครื่องหมายกรณฑ์ได้ เช่น $\sqrt{100}=10$ หรือถอดไม่ได้แต่สามารถทำให้อยู่ในรูปที่อ่านง่ายขึ้นได้ โดยการใช้สมบัติของกรณฑ์

ตัวอย่าง จงทำให้ $\sqrt{32}$ อยู่ในรูปอย่างง่าย

\begin{aligned} \sqrt{32} &= \sqrt{2\times 2\times 2\times 2\times 2} \\ &= \sqrt{2^2\times 2^2\times 2} \\ &= \sqrt{2^2}\times\sqrt{2^2}\times\sqrt{2} \\ &= 2\times 2 \times\sqrt{2} \\ &= 4\sqrt{2} \end{aligned}

ดังนั้น $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

การบวกลบจำนวนในรูปกรณฑ์

จำนวนในรูปกรณฑ์จะบวกกันให้เป็นรูปอย่างง่าย กรณฑ์จะต้องมีอันดับเดียวกัน และจำนวนในกรณฑ์ต้องเป็นจำนวนเดียวกัน โดยมองให้กรณฑ์เป็นเสมือนตัวแปรหนึ่ง แล้วนำจำนวนที่คูณอยู่กับกรณฑ์มาดำเนินการ (จำนวนข้างหน้ากรณฑ์)

ตัวอย่าง $\sqrt{2}+5\sqrt{2}$

\begin{aligned} \sqrt{2}+5\sqrt{2} &= 1\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \\ &= (1+5)\sqrt{2} \\ &= 6\sqrt{2} \end{aligned}

ดังนั้น $\sqrt{2}+5\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

ตัวอย่าง $8\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{2500}$

\begin{aligned} 8\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{2500} &= 8\sqrt[4]{4}+5\sqrt[4]{4} \\ &= (8+5)\sqrt[4]{4} \\ &= 13\sqrt[4]{4} \end{aligned}

ดังนั้น $8\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{2500}=13\sqrt[4]{4}$

การคูณหารจำนวนในรูปกรณฑ์

จำนวนในรูปกรณฑ์จะคูณหารให้เป็นรูปอย่างง่าย กรณฑ์จะต้องมีอันดับเดียวกัน และใช้สมบัติของกรณฑ์อันดับเดียวกันในการหาผลลัพธ์

ตัวอย่าง $6\sqrt{5} \times 5\sqrt{20}$

\begin{aligned} 6\sqrt{5} \times 5\sqrt{20} &= 6\times 5\times \sqrt{5} \times \sqrt{20} \\ &= 30 \times \sqrt{5\times 20} \\ &=30\sqrt{100} \\ &=30\times 10 \\ &= 300 \end{aligned}

ดังนั้น $6\sqrt{5} \times 5\sqrt{20} = 300$

ตัวอย่าง $\dfrac{2\sqrt{28}}{3\sqrt{7}}$

\begin{aligned} \dfrac{2\sqrt{28}}{3\sqrt{7}} &= \dfrac{2}{3}\times \sqrt{\dfrac{28}{7}} \\ &= \dfrac{2}{3}\times \sqrt{4} \\ &= \dfrac{2}{3}\times 2 \\ &= \dfrac{4}{3} \end{aligned}

ดังนั้น $\dfrac{2\sqrt{28}}{3\sqrt{7}} = \dfrac{4}{3}$