จำนวนเต็ม

สารบัญ

• ความหมายของจำนวนเต็ม
• เส้นจำนวน
• ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม
• การบวกลบจำนวนเต็ม
• การคูณหารจำนวนเต็ม
• สมบัติของจำนวนเต็ม
  • สมบัติปิด
    • สมบัติปิดการบวก
    • สมบัติปิดการคูณ
  • สมบัติการสลับที่
    • สมบัติการสลับที่การบวก
    • สมบัติการสลับที่การคูณ
  • สมบัติการเปลี่ยนหมู่
    • สมบัติการเปลี่ยนหมู่การบวก
    • สมบัติการเปลี่ยนหมู่การคูณ
  • สมบัติการแจกแจง
  • สมบัติการมีเอกลักษณ์
    • สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก
    • สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ
  • สมบัติการมีตัวผกผัน (อินเวอร์ส)
    • สมบัติการมีตัวผกผันการบวก (อินเวอร์ส)

ความหมายของจำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม (Integer) เป็นจำนวนประเภทหนึ่งในระบบจำนวน เป็นจำนวนที่ปราศจากองค์ประกอบของเศษส่วนหรือทศนิยมที่ไม่ลงตัว แบ่งออกเป็นสามประเภท ได้แก่

จำนวนเต็มบวก (Positive integer) หรือจำนวนนับ (Natural number)

ศูนย์ (Zero)

จำนวนเต็มลบ (Negative integer)

เส้นจำนวน

เส้นจำนวน (Number line) หมายถึงเส้นตรงที่ใช้แสดงจำนวน ในที่นี้ เราจะกล่าวถึงเฉพาะจำนวนที่เป็นจำนวนเต็ม แสดงได้เป็นดังรูป

จำนวนบนเส้นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือจะมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือ

กำหนดให้ $Z^+$ เป็นจำนวนเต็มบวก, $Z^-$ เป็นจำนวนเต็มลบ

$$Z^-\lt 0\lt Z^+$$

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

กำหนดให้ $A$ เป็นจำนวนเต็ม

ค่าสัมบูรณ์ (Absolute value) ของ $A$ หมายถึงระยะห่างจาก $0$ ไปถึงจำนวนเต็ม $A$ แทนด้วย $|A|$

ค่าสัมบูรณ์มีค่าเป็นบวกหรือศูนย์เสมอ

$$|A|\ge0$$

การบวกลบจำนวนเต็ม

การบวก

กำหนดให้ $A,B$ เป็นจำนวนเต็ม โดยมี $A$ เป็นตัวตั้งบวก และมี $B$ เป็นตัวบวก จะได้นิพจน์การบวก $A+B$

• กรณี $B$ เป็นจำนวนเต็มบวก : เพิ่มค่า $A$ ไป $|B|$ หน่วย
• กรณี $B$ เป็นจำนวนเต็มลบ : ลดค่า $A$ ไป $|B|$ หน่วย
• กรณี $B$ เป็นศูนย์ : ผลลัพธ์ได้เป็น $A$

การลบ

กำหนดให้ $A,B$ เป็นจำนวนเต็ม โดยมี $A$ เป็นตัวตั้งลบ และมี $B$ เป็นตัวลบ จะได้นิพจน์การลบ $A-B$

• กรณี $B$ เป็นจำนวนเต็มบวก : ลดค่า $A$ ไป $|B|$ หน่วย
• กรณี $B$ เป็นจำนวนเต็มลบ : เพิ่มค่า $A$ ไป $|B|$ หน่วย
• กรณี $B$ เป็นศูนย์ : ผลลัพธ์ได้เป็น $A$

ข้อสังเกต

กำหนดให้ $A,B$ เป็นจำนวนเต็ม และให้ $-B$ เป็นจำนวนตรงข้ามของ $B$ (จำนวนที่อยู่ด้านตรงข้ามของ $B$ บนเส้นจำนวน)

$$A+(-B)=A-B$$ $$A-(-B)=A+B$$

การคูณหารจำนวนเต็ม

การคูณ

กำหนดให้ $A,B$ เป็นจำนวนเต็ม โดยมี $A$ เป็นตัวตั้งคูณ และมี $B$ เป็นตัวคูณ จะได้นิพจน์การคูณ $A\times B$

• กรณี $A,B$ มีเครื่องหมายเดียวกัน : ผลลัพธ์จะเป็นบวก
• กรณี $A,B$ มีเครื่องหมายต่างกัน : ผลลัพธ์จะเป็นลบ

ข้อสังเกต

$$A\times 0=0=0\times A$$

การหาร

กำหนดให้ $A,B$ เป็นจำนวนเต็ม โดยมี $A$ เป็นตัวตั้งหาร และมี $B$ เป็นตัวหาร ซึ่ง $B$ ไม่เป็นศูนย์ จะได้นิพจน์การหาร $A\div B$

• กรณี $A,B$ มีเครื่องหมายเดียวกัน : ผลลัพธ์จะเป็นบวก
• กรณี $A,B$ มีเครื่องหมายต่างกัน : ผลลัพธ์จะเป็นลบ

ข้อสังเกต

$$0\div B=0$$ $$A\div 0=\text{undefined}$$

สมบัติของจำนวนเต็ม

กำหนดให้ $A,B,C$ เป็นจำนวนเต็ม

สมบัติปิด

สมบัติปิดการบวก

จำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ กระทำการบวกกัน ย่อมได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม

สมบัติปิดการคูณ

จำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ กระทำการคูณกัน ย่อมได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม

สมบัติการสลับที่

สมบัติการสลับที่การบวก

จำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ กระทำการบวกกัน สามารถสลับที่การบวกกันได้ โดยผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง

$$A+B=B+A$$

สมบัติการสลับที่การคูณ

จำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ กระทำการคูณกัน สามารถสลับที่การคูณกันได้ โดยผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง

$$A\times B=B\times A$$

สมบัติการเปลี่ยนหมู่

สมบัติการเปลี่ยนหมู่การบวก

จำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ กระทำการบวกกัน และกระทำการบวกกับจำนวนเต็มอีกจำนวน สามารถเปลี่ยนลำดับคู่ในการบวกได้ โดยผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง

$$(A+B)+C=A+(B+C)$$

สมบัติการเปลี่ยนหมู่การคูณ

จำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ กระทำการคูณกัน และกระทำการคูณกับจำนวนเต็มอีกจำนวน สามารถเปลี่ยนลำดับคู่ในการคูณได้ โดยผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง

$$(A\times B)\times C=A\times (B\times C)$$

สมบัติการแจกแจง

จำนวนเต็มสองจำนวนใด ๆ กระทำการบวกกัน และกระทำการคูณกับจำนวนเต็มอีกจำนวน สามารถแจกแจงตัวคูณให้กับตัวบวกแต่ละจำนวน แล้วกระทำการบวกหลังจากนั้นได้ โดยผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง

$$(A+B)\times C=(A\times C)+(B\times C)$$ $$A\times (B+C)=(A\times B)+(A\times C)$$

สมบัติการมีเอกลักษณ์

สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก

มีจำนวนเต็ม $0$ ที่ทำให้ผลบวกของจำนวนเต็มใด ๆ กับ $0$ ได้เป็นจำนวนเต็มนั้น

$$A+0=A=0+A$$

สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ

มีจำนวนเต็ม $1$ ที่ทำให้ผลคูณของจำนวนเต็มใด ๆ กับ $1$ ได้เป็นจำนวนเต็มนั้น

$$A\times 1=A=1\times A$$

สมบัติการมีตัวผกผัน (อินเวอร์ส)

สมบัติการมีตัวผกผันการบวก (อินเวอร์ส)

จำนวนเต็มใด ๆ มีจำนวนเต็มอีกจำนวนที่ทำให้ผลบวกของสองจำนวนนี้ได้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์การบวก $(0)$

$$A+(-A)=0$$